Memecahkan Paradoks Zeno

Oleh: William I. McLaughlin
(Sumber: Scientific American, November 1994, hal. 84)

Selama bermilenium-milenium, matematikawan dan filsuf berusaha menyanggah paradoks Zeno, serangkaian teka-teki yang menyatakan bahwa secara inheren gerak adalah mustahil. Akhirnya ditemukan sebuah solusi.

Perlombaan antara Achiless dan kura-kura darat mengilustrasikan salah satu paradoks Zeno. Achiless mempersilahkan kura-kura start duluan. Dia lalu harus menempuh setengah jarak di antara mereka, lalu ¾, lalu 7/8, dan seterusnya, tanpa akhir. Dengan demikian dia tak pernah bisa mengimbangi binatang lambat tersebut.

Alkisah, Achilles bertemu seekor kura-kura darat di jalan. Si kura-kura, yang akalnya lebih cepat daripada kakinya, menantang sang pahlawan tangkas untuk berlomba. Dengan geli Achilles menerimanya. Si kura-kura bertanya apa boleh start duluan, sebab dirinya jauh lebih lambat daripada sang setengah dewa. Achilles mengiyakan dengan gembira, kura-kura pun mulai bergerak. Setelah mengambil sedikit waktu untuk mengencangkan salah satu tali sandal di mata kakinya, Achiless meloncat dari garis start. Dalam waktu tak lama, dia menempuh setengah jarak yang memisahkannya dari kura-kura. Sekejap berikutnya, dia sudah menempuh tiga 3/4 jarak. Sejenak berikutnya dia menempuh 7/8, dan kemudian 15/16. Tapi tak peduli seberapa cepat pun dia berlari, selalu ada sisa sedikit jarak. Bahkan, rupanya sang pahlawan tak pernah mampu menyusul kura-kura yang lambat dan berat itu.

Seandainya Achiless menghabiskan lebih banyak waktu mempelajari filsafat daripada berlatih di gimnasium, dia akan tahu bahwa dirinya sedang memerankan contoh klasik yang biasa mengilustrasikan salah satu paradoks Zeno, yang menolak kemungkinan semua gerak. Zeno merancang paradoks Achiless dan kura-kura, dan teka-teki yang mengiringinya (nanti kita bahas lebih jauh), untuk mendukung teori-teori filsafat gurunya, Parmenides.

Keduanya adalah warga Elea, koloni Yunani di Italia selatan. Kira-kira tahun 445 SM, Parmenides dan Zeno bertemu Socrates di Athena untuk bertukar gagasan mengenai persoalan filsafat dasar. Peristiwa itu, salah satu pertemuan intelektual terbesar dalam sejarah (jika betul-betul terjadi), dikenang dalam dialog Parmenides karya Plato. Parmenides, seorang pemikir masyhur berusia hampir 65 tahun, mengemukakan tesis mengejutkan kepada Socrates belia: “realitas” adalah entitas tunggal yang tak berubah, kesatuannya tanpa keliman. Dunia fisik, argumennya, bersifat monolitis. Lebih rinci lagi, gerak adalah tak mungkin. Walaupun penolakan terhadap pluralitas dan perubahan terasa idiosinkratis, secara garis besar ini terbukti menarik bagi banyak cendekiawan. Contoh, “idealisme absolut” filsuf Oxford F.H. Bradley (1846-1924) punya kesamaan poin dengan pandangan Parmenidean.

Gambaran dunia ini bertentangan dengan pengalaman harian kita dan menurunkan persepsi paling fundamental kita ke alam ilusi. Untuk mendukung perkaranya, Parmenides bersandar pada argumen kuat Zeno, yang kemudian direkam dalam tulisan Aristoteles. Selama dua setengah milenium, paradoks Zeno telah memancing perdebatan dan merangsang analisis. Akhirnya, menggunakan rumus kalkulus yang dikembangkan dalam satu dekade belakangan ini, kita dapat memecahkan paradoks Zeno. Resolusinya tergantung pada konsep infinitesimal, dikenal sejak zaman kuno tapi baru akhir-akhir ini dipandang oleh banyak pemikir dengan skeptis.

Kisah Achiless dan kura-kura melukiskan salah satu paradoks Zeno, biasanya diistilahkan sebagai “The Dichotomy”: suatu jarak, misalnya antara kedua pesaing tersebut, yang harus dilintasi sebuah objek dapat dibagi dua (1/2, 1/4, 1/8, dan seterusnya) ke dalam jumlah segmen ruang tak terhingga, masing-masing melambangkan suatu jarak yang mesti ditempuh. Alhasil, Zeno menyatakan gerak tak bisa diselesaikan sebab selalu tersisa suatu jarak, tak peduli betapapun pendeknya. Penting untuk dicatat, dia tidak mengatakan bahwa rentangan yang tak terhingga banyaknya menghasilkan jarak tak terhingga (mengingat geometri garis teriris tak terhingga menunjukkan, tanpa kalkulasi rumit, bahwa jumlah irisan tak terhingga menghasilkan interval terhingga). Keberatan Zeno terhadap ide gerak lebih berasal dari keharusan menjelaskan bagaimana jumlah aksi tak terhingga—melintasi satu interval—bisa diselesaikan secara bersambung.

Zeno membuat serangan kedua terhadap fondasi konseptual gerak dengan memandang argumen pertama ini dari perspektif agak berbeda. Paradoks keduanya adalah sebagai berikut: Sebelum objek, katakanlah anak panah, mencapai tanda separuh jalan perjalanannya (capaian yang diakui dalam kasus sebelumnya), ia harus pertama-tama menempuh seperempat jarak. Sebagaimana dalam keberatan pertama Zeno, argumentasi ini bisa diteruskan tanpa batas untuk menghasilkan kemunduran tak terhingga, sehingga membawa pada kekukuhannya bahwa gerak tak pernah bisa dimulai.

Paradoks ketiga Zeno mengambil arah yang sama sekali berbeda. Paradoks ini menyatakan bahwa konsep dasar gerak sama sekali kosong dari isi. Zeno mengundang kita mempertimbangkan anak panah di satu jenak penerbangannya. Pada titik waktu ini, anak panah menempati kawasan ruang yang setara dengan panjangnya, dan tak ada gerak yang nyata. Karena pengamatan ini benar di setiap jenak, maka anak panah tak pernah bergerak. Keberatan ini, secara historis, terbukti paling menyusahkan bagi para calon penjelas paradoks Zeno.

Banyak filsuf dan matematikawan melakukan berbagai upaya untuk menjawab keberatan Zeno. Pendekatan paling langsung adalah menyangkal eksistensi masalah. Contoh, Johann Gottlieb Waldin, profesor filsafat Jerman, menulis pada 1782 bahwa Zeno sang penganut aliran Eleatik, dalam berargumen menentang gerak, berasumsi gerak itu eksis. Jelas profesor hebat ini tidak mengetahui bentuk argumen yang dikenal sebagai reductio ad absurdum: menerima keadaan lalu membuktikan bahwa itu menimbulkan kesimpulan tak logis.

Meski demikian, cendekiawan lain membuat kemajuan dengan menggeluti bagaimana aksi berjumlah tak terhingga dapat terjadi di dunia fisik. Penjelasan mereka terus-menerus terjalin dengan ide infinitesimal, interval ruang atau waktu yang memuat quintessence kekecilan (smallness). Sebagian menduga kuantitas infinitesimal sangat dekat dengan nol sehingga tunadaya (impotent) secara numeris; kuantitas semacam itu akan mengelak dari semua pengukuran, tak peduli betapapun presisinya, seperti pasir menembus ayakan.

Giovanni Benedetti (1530-1590), pendahulu Galileo, berpostulat bahwa ketika menurut Zeno sebuah objek tampak terbeku di udara, pada kenyataannya dia sedang melihat sebagian aksi, seolah menyaksikan slide show ketimbang film. Di antara citra-citra statis yang dilihat Zeno itu terdapat jenak-jenak waktu kecil infinitesimal di mana objek bergerak sejauh jarak yang sama-sama kecil.

Yang lain menghindari persoalan ini dengan berargumen bahwa interval-interval di dunia fisik tak bisa dibagi tak terhingga kali. Friedrich Adolf Trendelenburg (1802-1872) dari Universitas Berlin membangun sistem filsafat yang menjelaskan persepsi manusia dari segi gerak. Dengan begitu, dia membebaskan diri dari menjelaskan gerak itu sendiri.

Demikian halnya, di abad ini, filsuf dan matematikawan Inggris, Alfred North Whitehead (1861-1947), mengkonstruksi sistem metafisik berlandaskan perubahan, di mana gerak adalah kasus khusus. Whitehead menanggapi keberatan Zeno dengan bersikukuh bahwa peristiwa-peristiwa di dunia fisik harus punya suatu tingkat; yakni, mereka tak boleh seperti titik. Begitu pula, filsuf Skotlandia, David Hume (1711-1776), menulis, “Semua ide kuantitas yang menjadi landasan argumen para matematikawan tak lain adalah istimewa dan, sebagaimana dikesankan oleh indera dan imajinasi, tidak bisa dibagi secara tak terhingga.”

Apel jatuh? Zeno akan berargumen bahwa karena apel tampak terbeku di udara pada setiap jenak turunnya, ia tak pernah bergerak. Selain itu, Zeno akan menyatakan bahwa tak ada bukti apel akan sampai ke tanah. Sebelum sampai, ia terlebih dahulu harus jatuh setengah jarak antara tangan manusia dan tanah. Setelah itu, ia harus jatuh setengah jarak sisanya dan setengah sisanya lagi, dan seterusnya. Bagaimana mungkin suatu jarak pecahan antara apel dan tanah tidak selalu tetap? Memakai logika serupa, Zeno akan mempertanyakan apakah apel bisa memulai jatuh.

Bagaimanapun, subjek infinitesimal (entah eksis ataupun tidak) menghasilkan literatur panjang dan sengitnya sendiri. Sampai akhir-akhir ini, kebanyakan matematikawan menganggapnya gagasan tak masuk akal. Uskup Irlandia, George Berkeley (1685-1753), dikenal terutama atas teori idealistisnya, tapi dia juga bergelut dengan infinitesimal. Dia percaya itu dikonsepsikan secara buruk oleh matematikawan di masanya, termasuk Newton. “Infinitesimal bukanlah kuantitas terhingga, bukanlah kuantitas kecil tak terhingga, dan bukan pula nihil. Tidak bolehkah kita menyebutnya hantu almarhum kuantitas?” Dia meninjau lebih jauh: “Apapun yang dipikirkan matematikawan tentang fluksion [laju perubahan], atau kalkulus diferensial, dan semacamnya, sedikit renungan akan menunjukkan pada mereka bahwa, dalam bekerja dengan metode-metode tersebut, mereka tidak mengkonsepsikan atau membayangkan garis-garis atau permukaan-permukaan selain dari apa yang bisa diindera.”

Memang, matematikawan merasa bahwa infinitesimal sulit dihindari dalam rangkaian penemuan mereka, tak peduli betapapun benci mereka menemukannya dalam teori. Beberapa sejarawan percaya bahwa Archimedes agung (sekitar 287-212 SM) mencapai sebagian prestasi matematikanya dengan memanfaatkan infinitesimal tapi memakai mode-mode yang lebih konvensional untuk penyajian ke publik. Infinitesimal meninggalkan bekas selama abad 17 dan 18 serta dalam perkembangan kalkulus diferensial dan integral. Buku-buku teks dasar sudah lama meminta bantuan dari “inifinitesimal praktis” untuk menyampaikan ide-ide tertentu dalam kalkulus kepada pelajar.

Ketika para analis berpikir untuk menjustifikasi eksistensi kuantitas-kuantitas kecil ini, timbul kesulitan yang tak terkira banyaknya. Akhirnya, matematikawan abad 19 menemukan pengganti teknis untuk infinitesimal: dinamakan teori batas. Keberhasilannya begitu sempurna sampai-sampai beberapa matematikawan menyebut-nyebut soal “pembuangan” infinitesimal dari disiplin mereka. Tapi pada 1960-an, tapak hantu infinitesimal di koridor-koridor matematika menjadi sangat nyata sekali lagi, berkat penelitian ahli logika Abraham Robinson dari Universitas Yale [lihat “Nonstandard Analysis”, tulisan Martin Davis dan Reuben Hersh, Scientific American, Juni 1972]. Sejak saat itu, ditemukan beberapa metode pemanfaatan infinitesimal selain pendekatan Robinson.

Saat saya dan kolega, Sylvia Miller, memulai penelitian kami mengenai paradoks Zeno, kami beruntung infinitesimal sudah dihormati secara matematis. Secara intuitif kami tertarik oleh objek-objek ini sebab memberikan pandangan mikroskopis tentang detil-detil gerak. Edward Nelson dari Universitas Princeton menciptakan alat yang kami rasa sangat berguna dalam serangan kami, sebuah merek analisis standar yang dilebih dikenal dengan nama membosankan, internal set theory (IST). Metode Nelson menghasilkan interpretasi mengejutkan atas struktur-struktur matematis yang tampak familiar. Dalam hal keanehan, hasilnya serupa dengan struktur-struktur teori quantum dan relativitas umum dalam fisika. Karena kedua teori ini diterima secara luas nyaris sepanjang abad ini, kami kagum dengan daya imajinasi Nelson.

Nelson mengadopsi cara baru dalam mendefinisikan infinitesimal. Matematikawan umumnya memperluas sistem bilangan yang ada dengan menambahkan objek-objek yang memiliki atribut diinginkan, mirip dengan pecahan yang dibubuhkan di antara bilangan bulat. Bahkan, sistem bilangan yang dipakai dalam matematika modern, layaknya bukit karang, tumbuh secara akumulatif menjadi dasar penopang: “Tuhan menciptakan bilangan bulat, sisanya adalah karya manusia,” kata Leopold Kronecker (1823-1891). Cara IST justru adalah dengan “membelalak” keras pada sistem bilangan yang ada dan memperhatikan bahwa itu sudah memuat bilangan-bilangan yang, memang wajar, bisa dianggap sebagai infinitesimal.

Secara teknis, Nelson menemukan bilangan-bilangan nonstandar dalam deret riil dengan menambah tiga kaidah, atau aksioma, pada set 10 pernyataan penopang sistem-sistem paling matematis. (Teori set Zermelo-Fraenkel adalah salah satu fondasi itu.) Tambahan-tambahan ini memperkenalkan istilah baru, yakni standar, dan membantu kita menentukan mana di antara teman-teman lama kita dalam sistem bilangan yang merupakan standar dan yang nonstandar. Tak heran, infinitesimal jatuh dalam kategori nonstandar, bersama beberapa bilangan lain yang akan saya bahas nanti.

Nelson mendefinisikan infinetesimal sebagai bilangan yang terletak antara nol dan setiap bilangan positif standar. Mulanya, ini mungkin terasa tidak menyampaikan gagasan kekecilan  tertentu, tapi bilangan-bilangan standar mencakup setiap bilangan konkrit (dan segelintir lain) yang bisa Anda tuliskan pada sehelai kertas atau Anda hasilkan dalam komputer: 10, pi, 1/1000, dan seterusnya. Oleh sebab itu, infinitesimal lebih besar daripada nol tapi lebih kecil daripada bilangan apapun yang dapat Anda tuliskan, berapapun kecilnya. Bukan berarti infinitesimal-infinitesimal semacam itu eksis, tapi validitas konseptual IST telah didemonstrasikan hingga derajat setaraf dengan keyakinan sah kita pada sistem matematis lain.

Tetap saja infinitesimal adalah entitas yang sulit dipahami. Kesulitan ini bersandar pada fakta bahwa dua bilangan konkrit—yang memiliki isi numeris—tidak berselisih sebesar besaran infinitesimal. Buktinya mudah, menurut reductio ad absurdum: selisih aritmetis antara dua bilangan konkrit harus konkrit (dan karenanya standar). Jika selisih ini infinitesimal, definisi infinitesimal sebagai [bilangan] yang lebih kecil dari semua bilangan standar akan dilanggar. Konsekuensi fakta ini adalah, kedua titik ujung interval infinitesimal tidak bisa dilabeli menggunakan bilangan konkrit. Oleh sebab itu, interval infinitesimal tak pernah bisa ditangkap melalui pengukuran; infinitesimal tetap selamanya di luar jangkauan pengamatan.

Lantas bagaimana bilangan-bilangan siluman ini bisa dipakai untuk menyangkal paradoks Zeno? Dari diskusi di atas, jelas bahwa titik-titik ruang atau waktu yang ditandai bilangan konkrit tak lain adalah titik-titik terisolir. Trayektori dan interval waktunya nyatanya dipadati kawasan-kawasan infinitesimal. Alhasil, kita bisa menjawab keberatan ketiga Zeno: ujung anak panah terperangkap diam secara “stoboskopik” di titik-titik waktu yang dilabeli bilangan konkrit, tapi sepanjang mayoritas rentangan, suatu jenis gerak terjadi. Gerak ini kebal dari kritik Zenonisme sebab dipostulatkan terjadi di dalam segmen-segmen infinitesimal. Inefabilitas mereka menyediakan semacam kasa atau filter.

Mungkinkah proses gerak di dalam salah satu interval ini maju seragam sepanjang interval atau lompatan instan dari satu ujung ke ujung lain? Atau mungkinkah gerak terdiri dari serentetan langkah menengah/pengantara atau, kalau tidak, proses di luar waktu dan ruang sama sekali? Kemungkinan-kemungkinannya tak terhingga, dan tak ada yang dapat diverifikasi atau dikesampingkan sebab interval infinitesimal tak pernah bisa dimonitor. Penghargaan atas bantahan ini layak dilayangkan pada Benedetti, Trendelenburg, dan Whitehead berkat pandangan awal mereka, yang kini dapat dirumuskan melalui IST.

Kita bisa menjawab dua keberatan pertama Zeno lebih mudah daripada keberatan ketiga, tapi kita perlu memakai satu fakta matematis lain dari IST. Setiap set bilangan tak terhingga memuat bilangan nonstandar. Sebelum menarik implikasi Zenonian dari pernyataan ini, kita perlu membahas dua tipe bilangan nonstandar lain yang siap dihasilkan dari bilangan-bilangan infinitesimal. Pertama, ambil semua bilangan infinitesimal, yang secara definisi, terjepit di antara nol dan semua bilangan positif standar, lalu bubuhkan lambang minus di depan masing-masingnya. Nah kini terdapat pengelompokan simetris objek-objek kecil ini di sekitar nol. Untuk menciptakan bilangan-bilangan nonstandar “campuran”, ambil suatu bilangan standar, misalnya satu setengah, dan tambahkan padanya tiap-tiap infinitesimal nonstandar dalam kelompok sekitar nol. Aksi penambahan ini menggeser kelompok infinintesimal asli ke posisi di tiap sisi bilangan satu setengah. Demikian pula, setiap bilangan standar dapat dipandang memiliki kumpulan bilangan nonstandar sekitarnya sendiri-sendiri, masing-masing hanya berjarak infinitesimal dari bilangan standar.

Bilangan riil terdiri dari bilangan bulat (bilangan bulat positif dan negatif), bilangan rasional (bilangan yang dapat diekspresikan sebagai pecahan), dan bilangan irasional (bilangan yang tak dapat diekspresikan sebagai pecahan). Bilangan riil dapat dilambangkan sebagai titik di deret lurus yang dikenal sebagai deret riil (gambar atas).

Matematikawan Edward Nelson dari Universitas Princeton melabeli tiga tipe bilangan sebagai [bilangan] nonstandar dalam sistem bilangan standar ini. Bilangan-bilangan infinetesimal nonstandar lebih kecil dari suatu bilangan positif standar tapi lebih besar dari nol. Bilangan nonstandar campuran, diperlihatkan mengelompok sekitar angka 5, dihasilkan dari menambah dan mengurangi bilangan infinetesimal pada bilangan standar. Bahkan, setiap bilangan standar dikelilingi oleh tetangga nonstandar campuran. Bilangan nonstandar tak terbatas, dilambangkan sebagai N dan N+1, merupakan balikan bilangan infinitesimal nonstandar. Setiap bilangan tak terbatas lebih besar dari setiap bilangan standar tapi lebih kecil dari bilangan infinite riil. Bilangan riil nonstandar terbukti berguna dalam memecahkan paradoks Zeno.

Tipe bilangan nonstandar ketiga adalah balikan infinitesimal (inverse of infinitesimal). Karena infinitesimal sangat kecil, balikannya akan sangat besar (di alam standar, balikan sepersejuta adalah sejuta). Tipe bilangan nonstandar ini dinamakan bilangan tak terbatas (unlimited number). Bilangan tak terbatas, meski besar, adalah terhingga dan karenanya lebih kecil daripada bilangan tak terhingga yang terbentuk dalam matematika. Bilangan-bilangan tak terbatas ini hidup di semacam zona temaram antara bilangan standar familiar, yang terhingga, dan bilangan tak terhingga.

Jika, sebagaimana ditunjukkan dalam IST, setiap set tak terhingga memuat bilangan nonstandar, maka rentetan titik cek tak terhingga yang dipakai Zeno untuk mengukur gerak dalam argumen pertamanya pasti memuat bilangan nonstandar campuran. Bahkan, selagi rentetan bilangan tak terhingga Zeno merangkak mendekati [bilangan] satu, anggota rentetan itu pada akhirnya akan berada dalam jarak infinitesimal dari [bilangan] satu. Pada titik itu, semua anggota rentetan akan menjadi anggota kelompok nonstandar di sekitar satu, dan Zeno ataupun lainnya takkan bisa memetakan kemajuan objek bergerak di kawasan tak terakses ini.

Ada unsur ironi dalam penggunaan ketakterhinggaan, senjata Zeno, untuk mengempiskan klaim-klaimnya. Untuk menyangkal paradoks pertama Zeno, kita hanya perlu menyatakan prinsip epistemologis bahwa kita tak bertanggungjawab untuk menjelaskan situasi yang tak mampu kita amati. Rentetan titik cek tak terhingga milik Zeno memuat bilangan-bilangan nonstandar, yang tak punya makna numeris, sehingga kita menolak argumennya berdasarkan entitas-entitas ini. Karena tak seorang pun bisa, sekalipun secara prinsip, mengamati domain utuh titik cek yang diangkat dalam keberatannya, perilaku yang menjadi keberatannya dalam mempostulatkan objek bergerak dapat diperdebatkan. Banyak deskripsi gerak di alam mikro, selain yang memuat rentetan utuh titik cek, bisa berlaku, dan karena skenario tertentu beliau menimbulkan persoalan konseptual, tak ada alasan untuk mengutuk ide gerak. Argumen keduanya, yang berupaya menunjukkan bahwa objek bahkan tak bisa memulai gerak, menderita penyakit seperti yang pertama, dan kita menolaknya atas dasar serupa.

Kita telah memecahkan paradoks Zeno menggunakan beberapa hasil teknis dari IST dan prinsip bahwa bilangan nonstandar tidak cocok untuk menggambarkan fakta, baik yang teramati ataupun terduga. Tetap saja, masih banyak yang bisa dikatakan menyangkut persoalan ini selain jaminan bahwa keberatan Zeno tidak menghindarkan gerak. Bahkan, kita bisa mengkonstruksi teori gerak menggunakan hasil amat kuat dari IST. Teori ini membuahkan hasil serupa sebagaimana alat-alat kalkulus, tapi lebih mudah divisualisasikan dan tidak menjadi sasaran keberatan Zeno.

Sebuah teorema yang terbukti dalam IST menyatakan bahwa terdapat set terhingga, sebut saja F, yang memuat semua bilangan standar! Konsekuensi wajar bahwa cuma ada bilangan standar terhingga memang terasa benar, tapi ternyata tidak. Dalam mengembangkan IST, Nelson perlu menggunakan cara konvensional matematikawan dalam membentuk objek. Pernyataan dalam IST disebut internal jika tidak memuat label “standar”. Jika sebaliknya, pernyataan itu disebut eksternal. Matematikawan sering menciptakan subset dari set-set besar dengan mempredikatkan sebuah kualitas yang mencirikan tiap objek dalam subset—bola yang merah atau bilangan bulat yang genap. Namun, dalam IST dilarang menggunakan predikat eksternal, semisal standar, untuk mendefinisikan subset; pembatasan ini dimasukkan guna menghindari kontradiksi. Contoh, bayangkan set semua bilangan standar dalam F. Set ini akan terhingga sebab ia merupakan subset dari set terhingga. Oleh sebab itu ia memiliki sedikitnya satu anggota, katakanlah r. Tapi kemudian r – 1 akan menjadi bilangan standar kurang dari r, di mana r dianggap sebagai bilangan standar terkecil. Jadi, kita tak bisa mengatakan bilangan standar berpanjang terhingga atau tak terhingga, sebab kita tak bisa membentuk set mereka dan menghitung mereka.

Namun demikian, set terhingga F, meski cara visualisasinya dibatasi, berguna untuk mengkonstruksi teori gerak kita. Teori ini dapat diekspresikan cukup sederhana sebagai [langkah] menempuh F, di mana setiap anggota F melambangkan momen berbeda. Untuk mudahnya, pikirkan saja bilangan-bilangan F yang berada di antara 0 dan 1. Asumsikan waktu 0 sebagai jenak ketika kita mulai mengikuti jejak objek bergerak. Jenak kedua ketika kita mencoba mengamati objek adalah waktu f1, di mana f1 adalah anggota terkecil F yang lebih besar dari 0. Naik menempuh F dengan cara ini, kita akhirnya mencapai waktu fn, di mana fn merupakan anggota terbesar F yang kurang dari 1. Dalam satu langkah lagi, kita mencapai 1 itu sendiri, destinasi dalam contoh ini. Dalam rangka berjalan menempuh jarak non-infinitesimal, semisal rentangan dari 0 ke 1 menggunakan langkah infinitesimal, subskrip n dari fn harus berupa bilangan bulat tak terbatas. Dengan demikian proses gerak terbagi menjadi aksi-aksi n + 1, dan karena n + 1 juga terhingga, bilangan aksi-aksi ini bisa diselesaikan secara sekuensial.

Di antara waktu-waktu pengamatan potensial yang diidentifikasi di awal, kemajuan objek hanya bisa dilaporkan saat jenak-jenak tersebut, yang ekuivalen dengan bilangan standar tertentu dalam F. (Ngomong-ngomong, f1 dan fn adalah nonstandar, sebab f1 secara infinitesimal dekat dengan 0 sementara fn dekat dengan 1.) Contoh, walaupun kita dapat mengeskpresikan bilangan standar sampai suatu bilangan terhingga (tapi tidak tak terbatas) berkedudukan desimal dan memakai penaksiran ini sebagai label pengukuran, kita tak dapat mengakses ekor perpanjangan tak terbatas untuk mengubah digit dan menetapkan tetangga nonstandar yang dekat secara infinitesimal. Bilangan standar konkrit saja yang efektif sebagai label pengukuran; kegunaan tetangga nonstandar mereka untuk pengukuran adalah ilusi.

Kalkulus Memanfaatkan Infinitesimal

Untuk melihat relasi antara kalukulus infinitesimal dan diferensial, pertimbangkan kasus sederhana batu yang jatuh. Jarak yang ditempuh batu dalam satuan kaki bisa dihitung dari rumus s = 16t2, di mana t sama dengan waktu yang dihabiskan dalam satuan detik. Contoh, jika batu jatuh selama dua detik, maka ia sudah menempuh 64 kaki.

Namun bayangkan kita ingin menghitung kecepatan sesaat batu tersebut. Kecepatan rata-rata objek bergerak sama dengan jarak tempuh dibagi total waktu. Dengan memakai rumus ini pada perubahan infinitesimal total jarak dan waktu, kita dapat menghitung taksiran kecepatan sesaat sebuah objek.

Asumsikan dt melambangkan perubahan infinitesimal waktu dan ds perubahan inifintesimal jarak. Maka perhitungan kecepatan batu setelah satu detik perjalanan adalah sebagai berikut: kerangka waktu yang dipertimbangkan berkisar dari t = 1 sampai t = 1+dt. Posisi batu selama waktu tersebut berubah dari s = 16(1)2 ke s = 16(1+dt)2. Total perubahan jarak, 32dt+16dt2, dibagi dt, sama dengan kecepatan rata-rata yang diinginkan, 32+16dt.

Karena 16dt tak lain adalah bilangan infinitesimal, tak dapat dideteksi dengan cara apapun, ia bisa dianggap sama dengan 0. Jadi, setelah satu detik perjalanan, rumus ini menghasilkan kecepatan sesaat batu 32 kaki/detik.

Ini tentu saja menyerupai manipulasi yang dipakai dalam kalkulus diferensial tradisional. [Dalam kalkulus diferensial], sisa kecil 16dt tak bisa dicoret di akhir perhitungan; ia merupakan kuantitas non-infinitesimal. Sebaliknya, dalam kalkulus ini, ia harus dibuang menggunakan teori batas. Pada hakikatnya, proses batas membuat interval panjang dt menjadi cukup kecil sehingga kecepatan rata-ratanya mendekati 32. Seperti sebelumnya, kecepatan sesaat batu setelah satu detik perjalanan sama dengan 32 kaki/detik. Demikian halnya, penggunaan bijak kawasan-kawasan infinitesimal memfasilitasi perhitungan area kawasan-kawasan rumit, yang merupakan masalah dasar kalkulus integral. Sebagian menganggap kalkulus baru ini lebih unggul secara pedagogi daripada kalkulus tanpa infinitesimal. Meski begitu, kedua metode sama-sama teliti dan membuahkan hasil identik.

Masih banyak yang tak berguna dalam teori gerak ini, dan masih banyak yang belum disebutkan. Namun ini memadai dalam artian ia bisa dengan mudah diubah ke dalam notasi simbolis kalkulus integral atau diferensial, yang biasa dipakai untuk menggambarkan detil-detil gerak [lihat boks di atas]. Yang lebih penting dalam konteks sekarang, keterhinggaan set F memungkinkan kita melompati lubang perangkap dalam dua paradoks pertama Zeno. Keberatan ketiganya terhindari sebagaimana yang sudah-sudah: gerakan dalam waktu riil adalah proses tak dikenal yang terjadi dalam interval infinitesimal di antara titik-titik standar F; titik-titik nonstandar F tidak relevan mengingat mereka tak bisa diamati.

The Measurers, lukisan Belanda abad 17 yang dikaitkan dengan Hendrik van Balen, mengilustrasikan perkataan penyair Romawi Horace: “Ada ukuran dalam segala hal.” Namun, tak peduli betapapun presisinya pengukuran, bilangan infinetesimal takkan pernah kita pahami, sebab satuan ukuran berguna harus ekuivalen dengan bilangan standar.

Selama berabad-abad, logika Zeno bertahan hampir utuh, membuktikan sifat keras kepala argumennya. Resolusi dimungkinkan melalui dua fitur dasar IST: pertama, kemampuan untuk menyekat interval waktu atau ruang menjadi sejumlah infintesimal terhingga yang inefabel dan, kedua, fakta bahwa titik-titik yang dilabeli standar—titik-titik yang bisa dipakai untuk pengukuran—merupakan objek terisolir di deret riil. Apakah penelitian kami hanyalah solusi untuk teka-teki kuno? Mungkin saja, tapi ada beberapa arah lain yang bisa diperluas.

Selain nilai matematisnya, IST matang dengan impor epistemologis, sebagaimana sudah ditunjukkan oleh analisis ini. Ia juga dapat dimodifikasi untuk memasukkan logika epistemik umum. Selain itu, interval infinitesimal, atau generalisasinya, menjanjikan sumberdaya teknis untuk menampung apa yang dinamakan entitas aktual milik Whitehead, atom generatif sistem filsafatnya. Terakhir, teori gerak mutakhir dan prediksi fisika quantum tidaklah berbeda dalam artian keduanya membatasi pengamatan peristiwa-peristiwa tertentu hingga harga-harga tersendiri. Tentu saja, teori gerak ini bukanlah sebuah versi mekanika quantum (bukan pula teori relativitas). Karena dihasilkan dari eksperimen pikiran terhadap syarat-syarat Zeno, teori ini tak punya hubungan langsung dengan teori fisika sekarang. Lebih jauh, kaidah spesifik yang diwarisi dari IST barangkali bukan yang paling cocok untuk menggambarkan realitas. Fisika modern dapat mengadaptasi pendekatan IST dengan memodifikasi sistem kaidahnya dan memperkenalkan “konstanta fisikal”, barangkali dengan mengatributkan parameter pada set F.

Tapi mungkin juga tidak. Tetap saja, kesederhanaan dan keanggunan eksperimen pikiran semacam ini telah mengkatalisasi penelitian sepanjang zaman. Contoh-contoh menonjol meliputi Heinrich W. M. Olbers, yang mempertanyakan langit gelap di malam hari padahal bintang-gemintang ada di segala arah, atau James Maxwell, yang memanggil campur-tangan setan mikroskopis untuk mengkritik hukum termodinamika kedua secara habis-habisan. Demikian halnya, argumen-argumen Zeno telah merangsang pemeriksaan ide kita soal gerak, waktu, dan ruang. Jalan menuju resolusi mereka dipenuhi peristiwa luar biasa.

Penulis

William I. McLaughlin adalah manajer teknis astrofisika antariksa canggih di Jet Propulsion Laboratory di pasadena, California, di mana dia telah bekerja sejak 1971. Dia berpartisipasi dalam banyak proyek untuk program antariksa AS, termasuk program pendaratan Apollo di bulan, misi Viking ke Mars, proyek Infrared Astronomical Satellite (IRAS ) dan Voyager, yang dia tuangkan dalam artikel Scientific American November 1986. Dia menerima gelar B.S. dalam teknik listrik pada 1963 dan Ph.D. dalam matematika pada 1968, keduanya dari Universitas California, Berkeley. Selain itu, McLaughlin melakukan penelitian dalam bidang epistemologi.

Bacaan Lebih Jauh

  • A History of Greek Philosophy, Vol. 2: The Presocratic Tradition from Parmenides to Democritus. W. K. Guthrie. Cambridge University Press, 1965.
  • Zeno of Elea. Gregory Vlastos dalam The Encyclopedia of Philosophy. Disunting oleh Paul Edwards. Macmillan Publishing Company, 1967.
  • Nonstandard Analysis. Martin Davis dan Reuben Hersh dalam Scientific American, Vol. 226, No. 6, hal. 78-86, Juni 1972.
  • Internal Set Thoery: A New Approach to Nonstandard Analysis. Edward Nelson dalam Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 83, No. 6, hal. 1165-1198, November 1977.
  • An Epistemological Use of Nonstandard Analysis to Answer Zeno’s Objections against Motion. William I. McLaughlin dan Sylvia L. Miller dalam Synthese, Vol. 92, No. 3, hal. 371-384, September 1992.

One thought on “Memecahkan Paradoks Zeno

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s