Bapak Black Hole yang Enggan

Oleh: Jeremy Bernstein
(Sumber: Scientific American Reports – Special Edition on Astrophysics, 2007, hal. 4-11)

Persamaan gravitasi Albert Einstein merupakan fondasi pandangan modern black hole; ironisnya, dia menggunakan persamaan tersebut dalam upaya membuktikan objek ini tidak eksis.

Albert Enstein & J. Robert Oppenheimer
Pro dan Kontra: Pada 1939, J. Robert Oppenheimer (kanan) berargumen mendukung eksistensi black hole, pada saat yang sama Albert Einstein berupaya menyanggah eksistensinya. Perjalanan karir mereka bertemu di Institute for Advanced Study di Princeton, N.J., pada akhir 1940-an, ketika foto ini diambil, tapi tak diketahui apakah mereka pernah mendiskusikan black hole.

Adakalanya ilmu agung menghasilkan peninggalan yang melampaui bukan cuma imajinasi para praktisinya tapi juga niat mereka. Contoh yang tepat adalah perkembangan awal teori black hole dan, terutama, peran yang dimainkan oleh Albert Einstein di dalamnya. Tahun 1939 Einstein menerbitkan makalah dalam jurnal Annals of Mathematics dengan judul menakutkan, “On a Stationary System with Spherical Symmetry Consisting of Many Gravitating Masses”. Dengannya, Einstein berusaha membuktikan bahwa black hole—objek angkasa yang begitu rapat sehingga gravitasinya mencegah cahaya sekalipun untuk lari—adalah mustahil.

Ironisnya, untuk mendukung perkaranya, dia memakai teori relativitas umum dan gravitasinya sendiri, dipublikasikan tahun 1916—teori yang kini dipakai untuk membuktikan bahwa black hole tak hanya memungkinkan, tapi juga, bagi banyak objek astronomis, tak terhindarkan. Bahkan, beberapa bulan setelah penolakan Einstein terhadap black hole—dan tanpa mengacu padanya—J. Robert Oppenheimer dan mahasiswanya, Hartland S. Snyder, menerbitkan makalah berjudul “On Continued Gravitational Contraction”. Karya itu menggunakan teori relativitas umum Einstein untuk menunjukkan, untuk pertama kalinya dalam konteks fisika modern, bagaimana black hole bisa terbentuk.

Overview
Sejarah Black hole

  • Menggunakan teori relativitas umumnya, Albert Einstein berusaha membuktikan bahwa “singularitas Schwarzschild” (yang kemudian dikenal sebagai black hole) tak mungkin eksis. Dalam makalah tahun 1939, dia mencoba menghabisi ide itu selamanya.
  • Pada waktu yang hampir bersamaan, J. Robert Oppenheimer dan mahasiswanya, Hartland S. Snyder, memakai teori relativitas umum Einstein untuk menunjukkan bahwa bintang kolaps dengan cukup massa dapat membentuk black hole.
  • Studi black hole modern tak hanya mengandalkan teori relativitas umum tapi juga karya Einstein lain.

Barangkali yang lebih ironis lagi, studi modern black hole, dan lebih umumnya studi bintang kolaps, mengandalkan aspek warisan Einstein yang sama sekali berbeda—yakni penemuannya berupa mekanika statistik quantum. Tanpa efek-efek yang diprediksikan oleh statistika quantum, setiap objek astronomis pada akhirnya akan kolaps menjadi black hole, menghasilkan alam semesta yang sama sekali tidak mirip dengan yang kita tinggali sekarang.

Bose, Einstein, dan Statistika

Penciptaan statistika quantum terinspirasi sebuah surat yang diterimanya pada Juni 1924 dari seorang fisikawan muda India tak terkenal, bernama Satyendra Nath Bose. Bersama surat Bose terdapat naskah yang sudah ditolak oleh sebuah penerbitan ilmiah Inggris. Setelah membaca naskah, Einstein menerjemahkannnya sendiri ke dalam bahasa Jerman dan mengatur agar dipublikasikan dalam jurnal prestisius Zeitschrift für Physik.

Mengapa Einstein menganggap naskah ini begitu penting? Selama dua dekade dia bergulat dengan sifat radiasi elektromagnetik—terutama radiasi yang terperangkap di dalam wadah yang dipanaskan hingga mencapai temperatur yang sama dengan dinding-dindingnya. Di awal abad 20, fisikawan Jerman Max Planck telah menemukan fungsi matematika yang menggambarkan bagaimana beraneka panjang gelombang, warna, radiasi “benda hitam” ini berubah-ubah intensitasnya. Ternyata bentuk spektrum ini tidak tergantung pada material dinding wadah. Hanya temperatur radiasi yang penting. (Contoh mencolok dari radiasi benda hitam adalah photon yang tersisa dari big bang, di mana alam semesta merupakan “wadah”. Temperatur photon-photon ini telah diukur bertemperatur 2,762 ± 0,002 kelvin.)

Tanpa sengaja, Bose telah menyusun mekanika statistik radiasi benda hitam—dengan kata lain, dia memperoleh hukum Planck dari perspektif matematis mekanika quantum. Hasil itu menangkap perhatian Einstein. Tapi sebagai Einstein, dia membawa persoalan ini lebih jauh. Dia menggunakan metode yang sama untuk menguji mekanika statistik gas molekul masif yang mematuhi jenis aturan yang sama dengan yang digunakan Bose terhadap photon. Dia memperoleh analog hukum Planck untuk kasus ini dan memperhatikan sesuatu yang sangat luar biasa. Jika kita mendinginkan gas partikel yang mematuhi statistika Bose-Einstein, maka pada temperatur kritis tertentu semua molekul tiba-tiba berkumpul ke dalam status “tunawatak” (degenerate), atau tunggal. Status ini sekarang dikenal sebagai kondensasi Bose-Einstein (meski Bose tak ada kaitannya).

Contoh menarik adalah gas yang tersusun dari  isotop helium 4 biasa, yang nukleusnya terdiri dari dua proton dan dua neutron. Pada temperatur 2,18 kelvin, gas ini berubah menjadi cairan yang memiliki atribut sangat aneh, termasuk aliran tanpa friksi (yakni, keadizaliran/superfluidity). Lebih dari satu dekade silam, para periset AS menyelesaikan tugas sukar mendinginkan jenis-jenis atom lain ke [angka] sepermiliaran kelvin untuk mencapai kondensat Bose-Einstein.

Namun tidak semua partikel di alam menunjukkan kondensasi ini. Pada 1925, persis setelah Einstein mempublikasikan makalah kondensasinya, fisikawan kelahiran Austria Wolfgang Pauli mengidentifikasi kelas partikel kedua, yang mencakup elektron, proton, dan neutron, yang mematuhi sifat berlainan. Dia menemukan bahwa tak ada dua partikel identik—dua elektron misalnya—bisa berada dakan status mekanis quantum yang sama, sifat yang sejak saat itu dikenal sebagai prinsip eksklusi Pauli. Pada 1926, Enrio Fermi dan P.A.M. Dirac menemukan statistika quantum partikel-partikel ini, menjadikan mereka analog statistika Bose-Einstein.

Berkat prinsip Pauli, berkondensasi menjadi hal terakhir yang ingin dilakukan partikel-partikel ini pada temperatur rendah. Bahkan, mereka memperagakan kecenderungan sebaliknya. Jika Anda memampatkan katakanlah gas elektron, mendinginkannya sampai temperatur sangat rendah dan menyusutkan volumenya, elektron-elektron terpaksa mulai menyerbu ruang satu sama lain. Tapi prinsip Pauli melarang ini, jadi mereka lari dari satu sama lain dengan kecepatan mendekati kecepatan cahaya. Bagi elektron dan partikel Pauli lainnya, tekanan yang diciptakan oleh partikel lari ini—“tekanan degenerasi”—tetap berlaku meskipun gas mendingin ke [angka] nol absolut. Ini tak ada kaitannya dengan fakta bahwa elektron-elektron saling menolak secara elektris. Neutron, yang tak punya muatan listrik, juga berbuat sama. Ini murni fisika quantum.

Statistika Quantum dan White Dwarf

Tapi apa kaitan statistika quantum dengan bintang? Sebelum peralihan abad, para astronom sudah mulai mengidentifikasi golongan bintang khas yang kecil dan redup: white dwarf. Bintang yang mengiringi Sirius (bintang tercerlang di angkasa) memiliki massa seperti matahari tapi cahayanya sekitar 1/360 dari cahaya matahari. Berdasarkan massa dan ukuran, white dwarf pasti amat padat. Rekan Sirius sekitar 61.000 kali lebih padat daripada air. Apakah objek-objek ganjil ini? Perhitungkan Sir Arthur Eddington.

1900-1916

Ketika saya mulai mempelajari fisika di akhir 1940-an, Eddington adalah pahlawan saya tapi untuk alasan yang salah. Saya tak tahu apa-apa tentang penelitian agungnya dalam astronomi. Saya mengagumi buku-buku populernya (yang, sejak saya tahu banyak tentang fisika, kini terdengar konyol). Eddington, yang wafat tahun 1944, adalah seorang neo-Kantian yang percaya bahwa segala sesuatu yang signifikan mengenai alam semesta bisa dipelajari dengan memeriksa apa yang ada di dalam kepala seseorang. Tapi mengawali di akhir 1910-an, ketika Eddington memimpin salah satu dari dua ekspedisi yang mengkonfirmasi prediksi Einstein bahwa matahari menekuk cahaya bintang, sampai akhir 1930-an, ketika Eddington mulai putus asa, dia merupakan salah seorang raksasa sains abad 20. Dia menciptakan disiplin yang membawa pada pemahaman pertama tentang penyusun internal bintang-bintang, judul buku klasiknya di tahun 1926. Menurutnya, white dwarf adalah hinaan, setidaknya dari sudut pandang estetik. Meski begitu dia mempelajarinya dan menghasilkan ide pembebasan.

1916-1925

Pada 1924 Eddington mengajukan bahwa tekanan gravitasi yang memeras bintang dwarf dapat melucuti sebagian elektron dari proton. Atom-atom itu kemudian kehilangan “batas” mereka dan terperas menjadi paket padat kecil. Dwarf akhirnya berhenti kolaps berkat tekanan degenerasi Fermi-Dirac—yakni, saat prinsip eksklusi Pauli memaksa elektron mundur dari satu sama lain.

1926-19301932-1939

Pemahaman tentang white dwarf maju satu langkah lagi pada Juli 1930, ketika Subrahmanyan Chandrasekhar, yang berusia 19 tahun, naik kapal yang berlayar dari Madras ke Southampton. Dia telah diterima oleh fisikawan Inggris R.H. Fowler untuk belajar dengannya di Universitas Cambridge (di mana Eddington juga berada). Setelah membaca buku Eddington mengenai bintang dan buku Fowler mengenai mekanisa statistik quantum, Chandrasekhar jadi terpesona oleh white dwarf. Untuk mengisi waktu selama perjalanan, Chandrasekhar bertanya pada dirinya sendiri: Apakah ada batas atas pada kemasifan white dwarf sebelum ia kolaps akibat gaya gravitasinya sendiri? Jawabannya meletuskan revolusi.

Sebuah white dwarf secara keseluruhan bermuatan listrik netral, jadi semua elektron pasti memiliki proton ekuivalen, yang sekitar 2.000 kali lebih masif. Konsekuensinya, proton harus memasok sebagian besar mampatan gravitasi. Jika dwarf tidak kolaps tekanan degenerasi elektron dan kekolapsan gravitasi proton harus seimbang. Keseimbangan ini, ternyata membatasi jumlah proton dan karenanya massa dwarf. [Angka] maksimum ini dikenal sebagai batas Chandrasekhar dan setara dengan sekitar 1,4 kali massa matahari. Dwarf manapun yang lebih masif dari angka ini takkan stabil.

Temuan Chandrasekhar sangat menggelisahkan Eddington. Apa yang terjadi jika massanya lebih dari 1,4 kali massa matahari? Dia tidak senang dengan jawabannya. Bintang-bintang masif ditakdirkan kolaps secara gravitasi dan lenyap, kecuali jika ditemukan suatu mekanisme untuk membatasi massa bintang apapun yang akhirnya memampat menjadi dwarf, atau jika temuan Chandrasekhar salah.

Eddington menganggap ini tak bisa ditolerir lalu menyerang penggunaan statistika quantum oleh Chandrasekhar—secara terbuka maupun pribadi. Kritik itu menghancurkan Chandrasekhar. Tapi dia tak bergeming, disokong oleh orang-orang seperti fisikawan Denmark Niels Bohr, yang meyakinkannya bahwa Eddington keliru dan tak perlu dihiraukan.

Sensasi Singular

Para periset menggali statistika quantum dan white dwarf, sedangkan yang lainnya menggeluti karya Einstein tentang gravitasi, teori relativitas umum. Setahu saya, Einstein tak pernah menghabiskan banyak waktu untuk mencari solusi tepat bagi persamaan gravitasinya. Bagian yang menggambarkan gravitasi di sekeliling materi sangatlah rumit, sebab gravitasi mendistorsi geometri ruang dan waktu, mengakibatkan partikel bergerak dari titik ke titik sepanjang lintasan melengkung. Yang lebih penting menurut Einstein, sumber gravitasi—materi—tak bisa dijelaskan oleh persamaan gravitasi saja. Itu harus disisipkan dengan tangan, membuat Einstein merasa persamaannya belum lengkap. Tetap saja, solusi taksiran bisa menggambarkan fenomena semisal penekukan cahaya bintang dengan cukup akurat. Meski begitu, dia terkesan saat, tahun 1916, astronom Jerman Karl Schwarzschild menghasilkan solusi tepat untuk situasi realistis—rincinya, kasus planet mengorbit bintang.

Dalam prosesnya, Schwarzschild menemukan sesuatu yang menggelisahkan. Terdapat jarak dari pusat bintang di mana matematika mengamuk hebat. Di jarak ini, kini dinamakan radius Schwarzschild, waktu menghilang, dan ruang menjadi tak terhingga. Persamaannya menjadi apa yang disebut matematikawan sebagai singular. Radius Schwarzschild biasanya jauh lebih kecil dari radius objeknya. Untuk matahari, misalnya, adalah tiga kilometer, sedangkan untuk kelereng satu gram adalah 10-28 cm.

Schwarzschild tentu saja sadar rumusnya menjadi gila di radius ini, tapi dia memutuskan itu tak masalah. Dia mengkonstruksi model bintang sederhana dan menunjukkan bahwa perlu gradien tekanan tak terhingga untuk memampatkannya sampai ke radius miliknya. Temuan itu, argumennya, tidak bermanfaat untuk kepentingan praktis.

Tapi analisanya tidak meredakan semua orang. Itu mengusik Einstein, sebab model bintang Schwarzschild tidak memenuhi syarat teknis tertentu teori relativitas. Namun berbagai orang menunjukkan bahwa kita dapat menulis ulang solusi Schwarzschild agar menghindari singularitas. Tapi betulkah hasilnya menjadi nonsingular? Tidak tepat jika dikatakan terjadi perdebatan, sebab kebanyakan fisikawan tidak terlalu memperhatikan persoalan ini—setidaknya sampai 1939.

Dalam makalah tahun 1939, Einstein memasukkan keprihatinan baru mengenai radius Schwarzschild ke dalam diskusi dengan kosmolog Princeton Harold P. Robertson dan dengan asistennya Peter G. Bergmann. Sudah pasti niat Einstein dalam makalah ini adalah untuk membinasakan singularitas Schwarzschild selama-lamanya. Di akhir makalah, dia menulis, “Hasil esensial penyelidikan ini merupakan pemahaman gamblang mengapa ‘singularitas Schwarzschild’ tidak eksis di realitas fisik.” Dengan kata lain, black hole tidak mungkin eksis.

Untuk menjelaskan pendapatnya, Einstein fokus pada skeumpulan partikel kecil yang bergerak dalam orbit sirkuler di bawah pengaruh gravitasi satu sama lain—praktisnya, sistem yang menyerupai gugus bintang sferis. Dia lalu bertanya apakah konfigurasi demikian dapat kolaps akibat gravitasinya sendiri menjadi bintang stabil dengan radius setara radius Schwarzschild-nya. Dia menyimpulkan itu tidak mungkin, sebab dengan radius lebih besar bintang-bintang di gugus tersebut harus bergerak lebih cepat dari cahaya demi mempertahankan kestabilan konfigurasi. Walaupun argumentasi Einstein benar, pendapatnya tidak relevan: tak penting apakah bintang yang kolaps pada radius Schwarzschild tidak stabil, sebab bagaimanapun bintang itu kolaps melampaui radius tersebut. Saya tercengang oleh fakta bahwa Einstein yang saat itu berusia 60 tahun menyajikan tabel hasil numeris dalam makalah ini, pasti dia memperolehnya dengan memakai mistar sorong. Tapi makalah itu, seperti mistar sorong, kini menjadi artefak bersejarah.

Dari Neutron Hingga Black Hole

Sementara Einstein mengerjakan risetnya, upaya yang sama sekali berbeda sedang berkembang di California. Oppenheimer dan para mahsiswanya menciptakan teori black hole modern. Yang mengherankan dari riset black hole ini adalah, itu diilhami dari ide yang ternyata salah sama sekali. Pada 1932, fisikawan eksperimen Inggris James Chadwick menemukan neutron, komponen netral nukleus atom. Tak lama setelah itu muncul spekulasi—yang paling menonjol dari Fritz Zwicky dari California Institute of Technology dan secara terpisah dari fisikawan teoritis brilian Soviet Lev D. Landau—bahwa neutron-neutron bisa membawa pada alternatif white dwarf.

Ketika tekanan gravitasi cukup membesar, argumen mereka, elektron di sebuah bintang bisa bereaksi dengan proton dan menghasilkan neutron. (Zwicky bahkan menaksir bahwa proses ini terjadi dalam ledakan supernova; dia benar, dan “bintang neutron” ini sekarang kita kenali sebagai pulsar.) Semasa temuan ini, mekanisme aktual untuk menghasilkan energi dalam bintang biasa belum diketahui. Satu solusi menempatkan bintang neutron di pusat bintang biasa, dalam semangat yang sama dengan penaksiran banyak astrofisikawan sekarang ini bahwa black hole mentenagai quasar.

Lalu timbul pertanyaan: Apa ekuivalen batas massa Chandrasekhar untuk bintang-bintang ini? Memutuskan jawabannya jauh lebih sulit daripada menemukan batas untuk white dwarf. Alasannya, neutron-neutron saling berinteraksi dengan gaya kuat yang seluk-beluknya belum kita pahami penuh. Gravitasi akhirnya akan mengatasi gaya ini, tapi massa pembatas presisi sangat peka terhadap detil-detilnya. Oppenheimer mempublikasikan dua makalah tentang subjek ini bersama mahassiwanya, Robert Serber dan George M. Volkoff, dan menyimpulkan bahwa batas massanya sebanding dengan batas Chandrasekhar dengan white dwarf. Makalah pertama dipublikasikan tahun 1938 dan makalah kedua tahun 1939. (Sumber nyata energi bintang—fusi—ditemukan pada 1938 oleh Hans Bethe dan Carl Friedrich von Weizsäcker, tapi perlu beberapa tahun untuk diakui, sehingga astrofisikawan terus mengejar teori-teori alternatif.)

Oppenheimer kemudian menanyakan hal yang dulu membuat Eddington penasaran soal white dwarf: Apa yang terjadi jika ada bintang kolaps yang massanya melampaui batas apapun? Penolakan Einstein di tahun 1939 terhadap black hole—yang tentu saja tak diketahui oleh Oppenheimer dan mahasiswanya, sebab mereka bekerja pada masa yang sama, di jarak 3.000 mil—tidaklah relevan. Tapi Oppenheimer tak ingin mengkonstruksi bintang stabil dengan radius setara radius Schwarzschild-nya. Dia ingin tahu apa yang terjadi jika kita membiarkan bintang kolaps melampaui radius Schwarzschild-nya. Dia menganjurkan agar Snyder mengerjakan persoalan ini secara detil.

Sederhananya, Oppenheimer menyuruh Snyder membuat asumsi tertentu dan mengabaikan pertimbangan teknis seperti tekanan degenerasi atau rotasi bintang. Intuisinya mengatakan bahwa faktor-faktor ini takkan mengubah sesuatu yang esensial. (Asumsi ini ditantang bertahun-tahun kemudian oleh periset generasi baru yang menggunakan komputer berkecepatan tinggi—Snyder yang malang hanya punya kalkulator meja mekanis kuno—tapi Oppenheimer benar. Tak ada hal esensial yang berubah.) Dengan asumsi sederhana, Snyder menemukan bahwa yang terjadi pada bintang kolaps sangat tergantung pada titik menguntungkan seorang pengamat.

Dua Pandangan Kekolapsan

Mari kita mulai dengan seorang pengamat diam di jarak aman dari bintang. Juga kita asumsikan ada satu pengamat lain di permukaan bintang—“bergerak bersama” dengan kekolapsannya—yang bisa mengirim sinyal cahaya ke rekannya yang diam. Pengamat diam akan melihat bahwa sinyal dari rekan bergeraknya berangsur-angsur bergeser ke ujung merah spektrum elektromagnetik. Jika frekuensi sinyal diasumsikan sebagai jam, pengamat diam akan berkata bahwa jam pengamat bergerak berangsur melambat.

Bahkan, pada radius Schwarzschild, jam akan berhenti. Pengamat diam akan berargumen bahwa memakan waktu tak terhingga sampai bintang itu kolaps ke radius Schwarzschild-nya. Kita tak bisa bilang-apa tentang apa yang terjadi setelah itu, sebab, menurut pengamat diam, tak ada “setelah”. Menurut pengamat ini, bintang itu terbeku di radius Schwarzschild-nya.

Memang, sebelum Desember 1967, ketika fisikawan John A. Wheeler dari Universitas Princeton membuat nama “black hole” dalam kuliahnya, objek-objek ini sering disebut dalam literatur sebagai bintang terbeku. Status terbeku ini merupakan signifikansi nyata singularitas dalam geometri Schwarzschild. Sebagaimana tinjauan Oppenheimer dan Snyder dalam makalah mereka, bintang kolaps “cenderung menutup diri dari komunikasi dengan pengamat jauh; hanya medan gravitasinya yang tetap bertahan.” Dengan kata lain, black hole telah terbentuk.

Tapi bagaimana dengan pengamat yang menunggangi bintang kolaps? Pengamat ini, urai Oppenheimer dan Snyder, mendapat rasa yang sama sekali berbeda. Baginya, radius Schwarzschild tak punya signifikansi istimewa. Mereka berlalu melewatinya dan berlanjut ke pusat dalam hitungan jam, menurut ukuran arlojinya. Namun, dia akan menjadi sasaran gaya-gaya gravitasi pasang dahsyat yang akan mengoyak mereka berkeping-keping.

Tahun itu 1939, dan dunia sendiri segera terkoyak berkeping-keping. Oppenheimer berangkat perang untuk membangun senjata paling destruktif yang pernah dibuat manusia. Dia tak pernah mengerjakan subjek black hole lagi. Setahu saya, Einstein juga tidak. Di masa damai, tahun 1947, Oppenheimer menjadi direktur Institute for Advanced Study di Princeton, N.J., di mana Einstein bekerja sebagai profesor. Sesekali mereka mengobrol. Tak ada riwayat mereka pernah membahas black hole. Kemajuan selanjutnya harus menanti sampai tahun 1960-an, ketika penemuan quasar, pulsar, dan sumber sinar X kompak, menyegarkan kembali pemikiran tentang nasib misterius bintang-bintang.

Penulis

Jeremy Bernstein merupakan profesor emeritus fisika di Stevens Institute of Technology di Hoboken, N.J.. Dia staf penulis New Yorker sejak 1961 sampai 1995 dan penerima banyak penghargaan tulisan sains. Dia mantan asisten profesor di Universitas Rockefeller dan wakil presiden dewan pengawas Aspen Center for Physics, dan kini menjadi pengawas kehormatan. Bernstein sudah menulis 12 buku tentang sains populer dan perjalanan gunung. Artikel ini diadaptasi dari koleksi esainya, A Theory for Everything, diterbitkan oleh Copernicus Books tahun 1996.

Untuk Digali Lebih Jauh

  • Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Abraham Pais. Oxford University Press, 1982.
  • Dark Stars: The Evolution of an Idea. Werner Israel dalam 300 Years of Gravitation. Disunting oleh S. W. Hawking dan W. Israel. Cambridge University Press, 1987.
  • Chandra: A Biography of S. Chandrasekhar. Kameshwar C. Wali. University of Chicago Press, 1991.
  • Black Holes. J.-P. Luminet dkk.. Cambridge University Press, 1992.
  • Black Holes and Time Warps. Kip Thorne. W. W. Norton, 1994.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s