Bilangan Teraneh dalam Teori String

Oleh: John C. Baez dan John Huerta
Foto-foto oleh Zachary Zavislak
(Sumber: Scientific American, Mei 2011, hal. 60-65)

Sebuah sistem bilangan yang terlupakan yang ditemukan di abad 19 mungkin dapat memberi penjelasan paling sederhana tentang kenapa alam semesta kita barangkali memiliki 10 dimensi.

Bilangan Aneh Teori String

Di masa kecil, kita semua belajar angka. Kita memulai dengan berhitung, disusul penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Tapi para matematikawan tahu bahwa sistem bilangan yang kita pelajari di sekolah hanyalah salah satu dari banyak kemungkinan. Jenis-jenis bilangan lain amat penting untuk memahami geometri dan fisika. Di antara alternatif-alternatif aneh adalah [bilangan] oktonion. Sebagian besar diabaikan sejak ditemukan pada 1843, dalam beberapa dekade terakhir bilangan ini memikul signifikansi mengherankan dalam teori string. Dan bahkan, jika teori string merupakan representasi tepat alam semesta, bilangan ini mungkin dapat menjelaskan kenapa alam semesta memiliki jumlah dimensi seperti sekarang.

Imajiner Jadi Riil
Bilangan oktonion bukanlah potongan pertama matematika murni yang kemudian dipakai untuk meningkatkan pemahaman kita akan kosmos, bukan pula sistem bilangan alternatif pertama yang kemudian terbukti memiliki kegunaan praktis. Untuk mengerti alasannya, pertama-tama kita harus menengok kasus bilangan paling sederhana—sistem bilangan yang kita pelajari di sekolah—yang disebut oleh matematikawan sebagai bilangan riil. Set seluruh bilangan riil membentuk garis/deret, maka kita katakan kumpulan bilangan riil adalah satu-dimensi. Kita juga bisa mengarahkan ide ini pada hulunya: garis adalah satu-dimensi karena penetapan satu titik padanya memerlukan satu bilangan riil.

Sebelum tahun 1500-an, bilangan riil adalah satu-satunya permainan di kota. Lalu, di masa Renaissance, para matematikawan ambisius berupaya memecahkan bentuk-bentuk persamaan yang lebih kompleks lagi, bahkan mengadakan kompetisi untuk mencari siapa yang dapat memecahkan soal-soal tersulit. Akar kuadrat -1 diperkenalkan sebagai sejenis senjata rahasia oleh matematikawan, fisikawan, penjudi, dan astrolog Italia bernama Gerolamo Cardano. Sementara yang lain mempertengkarkan hal-hal sepele, dia nekat memakai bilangan misterius ini sebagai bagian dari kalkulasi panjang di mana jawabannya berupa bilangan riil biasa. Dia tak yakin kenapa trik ini bekerja, dia cuma tahu ini memberinya jawaban tepat. Dia mempublikasikan ide-idenya pada 1545, hingga mengawali sebuah kontroversi yang berlangsung berabad-abad: apakah akar kuadrat -1 betul-betul eksis, ataukah itu hanya trik? Hampir 100 tahun kemudian, tak kurang pemikir René Descartes memberi putusan ketika menganugerahinya nama olokan “imajiner”, kini disingkat i.

Meski demikian, para matematikawan mengikuti jejak Cardano dan mulai bekerja dengan bilangan kompleks—bilangan berbentuk a + bi, di mana a dan b adalah bilangan riil biasa. Sekitar tahun 1806, Jean-Robert Argand mempopulerkan ide bahwa bilangan kompleks menggambarkan titik-titik di permukaan bidang. Bagaimana a + bi menggambarkan titik di permukaan bidang? Sederhana saja: bilangan a memberitahu kita seberapa kiri atau seberapa kanan titik tersebut berada, sedangkan b memberitahu kita seberapa atas atau bawah ia.

Dengan begini kita bisa membayangkan bilangan kompleks apapun sebagai titik pada bidang, tapi Argand beranjak selangkah lebih jauh: dia menunjukkan cara membayangkan operasi-operasi bilangan kompleks—penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian—sebagai manipulasi geometris pada bidang [lihat boks di bawah].

Matematika Banyak Dimensi

Untuk pemanasan dalam memahami bagaimana operasi ini bisa dibayangkan sebagai manipulasi geometris, pertama-tama pikirkan bilangan riil. Penjumlahan atau pengurangan suatu bilangan riil menggeser deret riil ke kanan atau kiri. Perkalian atau pembagian dengan bilangan positif meregangkan atau meremas deret. Contoh, perkalian dengan 2 meregangkan deret sebesar faktor 2, sedangan pembagian dengan 2 meremasnya, menggeser semua titik dua kali lebih dekat. Perkalian dengan -1 membalik deret.

Prosedur yang sama bekerja untuk bilangan kompleks, dengan beberapa corak tambahan. Penjumlahan bilangan kompleks a + bi dengan suatu titik di bidang menggeser titik tersebut ke kanan (atau ke kiri) sejauh/sebesar a dan ke atas (atau ke bawah) sejauh/sebesar b. Perkalian dengan bilangan kompleks meregangkan atau meremas dan juga merotasi bidang kompleks. Rincinya, pengalian dengan i merotasi bidang sebanyak seperempat putaran. Maka, jika kita mengalikan 1 dengan i dua kali, kita merotasi bidang setengah putaran penuh dari titik awal untuk tiba di -1. Pembagian adalah kebalikan dari perkalian, jadi untuk membagi kita tinggal menyusutkan bukan meregangkan, atau sebaliknya, kemudian merotasi ke arah berlawanan.

Hampir semua yang bisa kita lakukan dengan bilangan riil juga bisa dilakukan dengan bilangan kompleks. Bahkan, sebagian besar bekerja lebih baik, sebagaimana Cardano ketahui, sebab kita dapat memecahkan lebih banyak persamaan dengan bilangan kompleks ketimbang dengan bilangan riil. Tapi jika sistem bilangan dua-dimensi memberi daya kalkulasi tambahan kepada pengguna, bagaimana dengan sistem-sistem berdimensi lebih tinggi? Sayangnya, perluasan (extension) sederhana ternyata mustahil. Seorang matematikawan Irlandia menyingkap rahasia sistem-sistem bilangan dimensi tinggi beberapa dekade kemudian. Dan baru sekarang, setelah dua abad, kita mulai mengerti seberapa kuat sistem-sistem bilangan ini.

Singkatnya

Kebanyakan orang akrab dengan bilangan “riil”, tapi masih banyak tipe bilangan yang eksis. Di antaranya, yang paling dikenal adalah bilangan kompleks, yang meliputi akar kuadrat -1.

Kita juga dapat membangun sistem bilangan berdimensi lebih tinggi. Tapi kita dapat mendefinisikan keempat operasi dasar—penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian—dalam beberapa sistem bilangan saja.

Salah satunya adalah oktonion, sistem bilangan delapan-dimensi. Para matematikawan menemukannya pada 1840-an, tapi, setelah mendapat beberapa penerapan, tidak memberi perhatian banyak selama 150 tahun lebih.

Sekarang matematikawan menduga oktonian dapat membantu kita memahami riset mutakhir dalam fisika partikel di bidang-bidang seperti supersimetri dan teori string.

Alkimia Hamilton
Pada 1835, di usia 30, matematikawan dan fisikawan William Rowan Hamilton menemukan cara memperlakukan bilangan kompleks sebagai pasangan bilangan riil. Pada waktu itu para matematikawan umumnya menulis bilangan kompleks dalam bentuk a + bi yang dipopulerkan oleh Argand, tapi Hamilton mencatat bahwa kita juga bebas membayangkan bilangan a + bi sebagai cara ganjil menuliskan dua bilangan riil—misalnya (a,b).

Notasi ini mempermudah penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks—tinggal jumlahkan atau kurangi bilangan riil bersangkutan dalam pasangan. Hamilton juga melahirkan kaidah yang agak rumit tentang cara mengalikan dan membagi bilangan kompleks agar mempertahankan makna geometris indah yang ditemukan Argand.

Setelah menemukan sistem aljabar untuk bilangan kompleks yang memiliki makna geometris ini, selama bertahun-tahun dia berusaha menemukan aljabar yang lebih besar, aljabar triplet, yang akan memainkan peran serupa dalam geometri tiga-dimensi, sebuah upaya yang membuatnya frustasi tanpa ujung. Suatu kali dia menulis kepada puteranya, “Setiap pagi…saat ayah turun sarapan, adik kecilmu (waktu itu) William Edwin, dan kau sendiri, biasa bertanya: ‘Well, Papa, bisakah papa mengalikan triplet?’ Ayah selalu harus menjawab, sambil menggeleng sedih, ‘Tidak, papa hanya bisa menambah dan menguranginya.’” Walaupun mungkin waktu itu dia tak sadar, tugas yang dibebankan pada dirinya sendiri tersebut mustahil secara matematis.

Hamilton mencari-cari sistem bilangan tiga-dimensi di mana dia bisa menjumlah, mengurangi, mengalikan, dan membagi. Pembagian adalah bagian yang sulit: sebuah sistem bilangan di mana kita dapat membagi dinamakan dengan aljabar pembagian. Baru pada 1958 tiga matematikawan membuktikan satu fakta menakjubkan yang telah dicurigai selama berdekade-dekade: suatu aljabar pembagian pasti mempunyai dimensi satu (yakni bilangan riil), dimensi dua (bilangan kompleks), dimensi empat atau delapan. Untuk berhasil, Hamilton harus mengubah aturan main.

Hamilton sendiri mempertimbangkan sebuah solusi pada 16 Oktober 1843. Dia sedang berjalan bersama isterinya sepanjang Royal Canal menuju sebuah pertemuan Royal Irish Academy di Dublin ketika tiba-tiba mendapat ilham. Pada tiga dimensi, rotasi, peregangan, dan penyusutan tidak dapat dilukiskan dengan tiga bilangan saja. Dia perlu bilangan keempat, dengan demikian menghasilkan set empat-dimensi bernama quaternion yang berbentuk a + bi + cj + dk. Di sini bilangan i, j, dan k adalah tiga akar kuadrat -1 yang berlainan.

Hamilton kemudian menulis: “Waktu itu, di tempat itu, saya merasa sirkuit listrik otak tertutup; dan cetusan yang jatuh darinya berupa persamaan fundamental antara i, j, dan k. Sejak itu saya selalu menggunakannya.” Dan dalam aksi vandalisme matematika terkenal, dia memahat persamaan ini pada batu Brougham Bridge. Walaupun kini terkubur di bawah grafiti, di sana ditempatkan sebuah plakat untuk mengenang penemuan ini.

Mungkin aneh rasanya kita butuh titik-titik di ruang empat-dimensi untuk menggambarkan perubahan di ruang tiga-dimensi, tapi ini nyata. Tiga bilangan berasal dari rotasi, yang serta-merta kita dapatkan jika membayangkan menerbangkan pesawat. Untuk mengorientasi pesawat, kita perlu mengendalikan pitch (gerak maju), atau [besaran] sudut dengan bidang horizontal. Kita juga mungkin perlu mengatur olengan, dengan berbelok ke kiri atau kanan, seperti mobil. Dan terakhir, kita mungkin perlu mengatur gulingan: sudut sayap-sayap pesawat. Bilangan keempat yang kita butuhkan dipakai untuk menggambarkan peregangan atau penyusutan.

Hamilton menghabiskan sisa hidupnya dengan quaternion dan menemukan banyak penggunaan praktisnya. Hari ini, di antara banyak penerapan ini, quaternion telah digantikan oleh sepupu mereka yang lebih sederhana: vektor, yang dapat dibayangkan sebagai quaternion berbentuk khusus ai + bj + ck (bilangan pertama adalah nol). Tapi quaternion masih punya celah: mereka menyediakan cara efisien untuk merepresentasikan rotasi tiga-dimensi pada komputer dan muncul di manapun dibutuhkan, mulai dari sistem kendali perilaku pesawat antariksa sampai engine grafis videogame.

Imajiner Tanpa Akhir
Terlepas dari semua penerapan ini, mungkin kita penasaran berapa persisnya j dan k jika kita sudah mendefinisikan akar kuadrat -1 sebagai i. Apakah akar-akar kuadrat -1 ini memang eksis? Bisakah kita terus menemukan akar-akar kuadrat -1 baru sampai ke isi hati kita?

Pertanyaan-pertanyaan ini dilontarkan oleh teman kuliah Hamilton, seorang pengacara bernama John Graves, yang minat amatirnya terhadap aljabar membuat Hamilton memikirkan bilangan kompleks dan triplet. Sehari setelah jalan kaki menentukan di musim gugur 1843, Hamilton mengirimi Graves sebuah surat yang menguraikan terobosannya. Graves membalas sembilan hari kemudian, memuji Hamilton atas keberanian ide tersebut seraya menambahkan, “Masih ada sesuatu dalam sistem ini yang menggusarkan saya. Saya belum paham sejauh mana kita bebas menciptakan bilangan imajiner, dan menganugerahinya atribut supranatural.” Dan dia bertanya: “Jika dengan alkimia kau bisa menghasilkan tiga pon emas, kenapa kau mesti berhenti di situ?”

Seperti Cardano sebelumnya, Graves mengesampingkan kecemasannya cukup lama untuk menyulap emasnya sendiri. Pada 26 Desember, dia menulis surat lagi kepada Hamilton, menguraikan sistem bilangan delapan-dimensi baru yang dijulukinya oktaf dan kini disebut oktonion. Namun Graves tak mampu membuat Hamilton tertarik pada ide-idenya. Hamilton berjanji untuk membahas oktaf-nya Grave di Irish Royal Society, sarana mempublikasikan temuan matematis di masa itu. Tapi Hamilton terus menunda-nundanya, dan pada 1845 jenius muda Arthur Cayley menemukan ulang oktonion dan mendahului Graves dalam mempublikasikannya. Atas alasan ini, oktonian terkadang dikenal juga sebagai bilangan Cayley.

Kenapa Hamilton tidak menyukai oktonion? Satu hal, dia terobsesi dengan riset penemuannya sendiri, quaternion. Dia juga punya alasan matematis murni: oktonion melanggar beberapa hukum aritmetika yang dihormati.

Quaternion saja sudah sedikit aneh. Ketika Anda mengalikan bilangan-bilangan riil, tak peduli bagaimana urutannya—2 kali 3 sama dengan 3 kali 2, contohnya. Kita katakan perkalian ini komutatif. Hal yang sama berlaku untuk bilangan kompleks. Tapi quaternion adalah nonkomutatif. Urutan perkalian berpengaruh.

Urutan menjadi penting karena quaternion menggambarkan rotasi di tiga dimensi, dan gara-gara rotasi demikianlah urutan memberi hasil berbeda. Anda bisa mengecek ini sendiri [lihat boks di bawah]. Ambil sebuah buku, jungkirkan bagian atas ke bawah (sehingga kini Anda menatap sampul belakang) lalu putar seperempat searah jarum jam (jika dipandang dari atas). Sekarang, lakukan dua operasi dengan urutan terbalik: pertama putar seperempat, lalu balik. Posisi akhir telah berubah. Karena hasilnya bergantung pada urutan, rotasi tidak komutatif.

Persoalan Rotasi

Oktonion jauh lebih aneh. Bukan hanya nonkomutatif, tapi juga melanggar satu hukum aritmetika lain yang familiar: hukum asosiatif (xy)z = x(yz). Kita semua pernah menjumpai operasi non-asosiatif dalam pelajaran matematika: pengurangan. Contoh (3 – 2) – 1 berbeda dari 3 – (2 – 1). Tapi kita terbiasa menganggap perkalian bersifat asosiatif, dan kebanyakan matematikawan masih merasa begitu, padahal mereka sudah biasa dengan operasi nonkomutatif. Rotasi bersifat asosiatif, misalnya, sekalipun tidak komutatif.

Tapi mungkin yang paling penting, di masa Hamilton belum jelas apa kegunaan oktonion. Mereka terkait erat dengan geometri tujuh dan delapan dimensi, dan kita dapat menggambarkan rotasi di dimensi-dimensi tersebut menggunakan perkalian oktonion. Tapi selama lebih dari seabad, ini hanya menjadi latihan intelektual belaka. Butuh pengembangan fisika partikel modern—khususnya teori string—untuk mencaritahu seberapa berguna oktonion dalam dunia nyata.

Simetri dan String
Pada 1970-an dan 1980-an fisikawan teoritis mengembangkan ide luar biasa indah yang disebut supersimetri. (Di kemudian hari para periset tahu bahwa teori string mensyaratkan supersimetri.) Ide ini menyatakan, pada level paling fundamental, alam semesta memperagakan kesimetrian antara materi dan gaya-gaya alam. Setiap partikel materi (seperti elektron) memiliki partikel partner yang mengangkut gaya. Dan setiap partikel gaya (seperti photon, pengangkut gaya elektromagnetik) memiliki kembaran partikel materi.

Supersimetri juga mencakup ide bahwa hukum fisika tetap tak berubah jika kita menukar semua partikel materi dan gaya. Bayangkan memandang alam semesta dalam sebuah cermin aneh yang, alih-alih menukar kiri dan kanan, menukar setiap partikel gaya dengan partikel materi, dan sebaliknya. Jika supersimetri memang benar, jika ia memang menggambarkan alam semesta kita, maka alam semesta cermin ini bertindak sama dengan alam semesta kita. Meski fisikawan belum menemukan bukti eksperimen konkret untuk menopang supersimetri, teori ini begitu menggoda dan telah membawa kita pada banyak matematika memikat, sampai-sampai banyak fisikawan berharap dan menyangka ini nyata.

Namun ada satu yang kita ketahui kebenarannya, mekanika quantum. Dan menurut mekanika quantum, partikel-partikel juga merupakan gelombang. Dalam mekanika quantum versi tiga-dimensi standar yang dipakai fisikawan sehari-hari, satu tipe bilangan (disebut spinor) menggambarkan gerak gelombang partikel-partikel materi. Satu tipe bilangan lain (disebut vektor) menggambarkan gerak gelombang partikel-partikel gaya. Jika kita ingin memahami interaksi partikel, kita harus mengkombinasikan kedua-duanya menggunakan simulakrum perkalian yang digabung (cobbled-together simulacrum of multiplication). Walaupun sistem yang kita pakai sekarang dapat bekerja, tapi tidak elegan sama sekali.

Sebagai alternatif, bayangkan sebuah alam semesta aneh tak berwaktu, hanya ruang. Jika alam semesta ini memiliki dimensi satu, dua, empat, atau delapan, baik partikel materi maupun gaya akan berupa gelombang yang direpresentasikan oleh satu tipe bilangan—yakni bilangan dalam aljabar pembagian, satu-satunya tipe sistem yang memperkenankan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Dengan kata lain, di dimensi-dimensi ini vektor dan spinor bertepatan: mereka masing-masing adalah bilangan riil, bilangan kompleks, quaternion, atau oktonion, secara berturut-turut. Supersimetri muncul secara alami, menyediakan deskripsi materi dan gaya secara terpadu. Perkalian sederhana melambangkan interaksi, dan semua partikel—tak peduli tipenya—menggunakan sistem bilangan yang sama.

Tapi alam semesta mainan ini tidak mungkin riil, sebab kita perlu memperhitungkan waktu. Dalam teori string, pertimbangan ini memiliki efek menggelisahkan. Pada jenak waktu kapanpun, string adalah benda satu-dimensi, seperti kurva atau garis. Tapi string ini mensketsa (trace out) permukaan dua-dimensi seiring waktu berlalu [lihat ilustrasi di bawah]. Evolusi ini mengubah dimensi-dimensi di mana supersimetri timbul, dengan menambah dua [dimensi]—satu untuk string dan satu untuk waktu. Alih-alih supersimetri di dimensi satu, dua, empat, atau delapan, kita mendapatkan supersimetri di dimensi tiga, empat, enam, atau sepuluh.

String & Membran
Dalam teori string, string satu-dimensi mensketsa permukaan dua-dimensi seiring berjalannya waktu. Dalam teori-M, membran dua-dimensi mensketsa volume tiga-dimensi. Penjumlahan dimensi-dimensi ini dengan delapan dimensi oktonion memberi petunjuk kenapa teori-teori ini mensyaratkan 10 atau 11 dimensi.

Kebetulan sudah bertahun-tahun para teoris string mengemukakan bahwa hanya versi 10-dimensi dari teori ini yang swa-konsisten (self-consistent). Di selain sepuluh dimensi, teori string runtuh. Tapi teori string 10-dimensi, sebagaimana sudah kita simak, merupakan versi teori yang memakai oktonion. Jadi jika teori string benar, maka oktonion bukanlah barang aneh tak berguna. Sebaliknya, mereka menyediakan alasan mendalam mengapa alam semesta harus memiliki sepuluh dimensi: di sepuluh dimensi, partikel-partikel materi dan gaya diejawantahkan pada tipe bilangan yang sama—oktonion.

Tapi ini bukan akhir cerita. Belakangan ini fisikawan sudah mulai beranjak melampaui string untuk mempertimbangkan membran. Contoh, membran dua-dimensi, atau bran-2, tampak seperti tilam di jenak [waktu] kapanpun. Seiring waktu berlalu, ia mensketsa volume tiga-dimensi di ruangwaktu.

Sementara dalam teori string kita harus menambah dua dimensi pada koleksi standar satu, dua, empat, dan delapan, kini kita harus menambah tiga [dimensi]. Jadi, manakala berurusan dengan membran, kita menduga supersimetri muncul secara alami di dimensi empat, lima, tujuh, dan sebelas. Dan sebagaimana dalam teori string, kita mendapat kejutan: periset memberitahu kita bahwa teori-M (“M” biasanya singkatan dari “membran”) mensyaratkan sebelas dimensi—implikasinya ia memanfaatkan oktonion. Celakanya, tak ada yang cukup paham teori-M untuk sekadar menuliskan persamaan-persamaan dasarnya (karenanya M bisa juga singkatan dari “misterius”). Sulit dipastikan bagaimana kondisinya di masa mendatang.

Pada poin ini kami mesti tekankan bahwa teori string dan teori-M belum membuat prediksi yang dapat diuji secara eksperimen. Mereka adalah mimpi yang indah—sampai sekarang hanya mimpi. Alam semesta yang kita tinggali tidak terlihat 10-dimensi atau 11-dimensi, dan kita belum melihat kesimetrian antara partikel materi dan gaya. David Gross, salah seorang pakar terkemuka teori string, bertaruh peluang melihat bukti supersimetri di Large Hadron Collider CERN sebesar 50%. Pihak-pihak skeptis menyebut kurang dari itu. Hanya waktu yang akan bicara.

Akibat ketidakpastian ini, kita masih jauh untuk mengetahui apakah oktonion aneh itu sangat fundamental dalam memahami dunia sekeliling kita ataukah cuma sekeping matematika indah. Memang keindahan matematis sendiri adalah tujuan yang mulia, tapi akan lebih menggembirakan lagi jika oktonion ternyata tergabung ke dalam struktur alam. Sebagaimana terungkap dalam kisah bilangan kompleks dan perkembangan matematika lainnya, hampir mustahil penemuan-penemuan matematika murni akan menyediakan alat yang dibutuhkan fisikawan.

Penulis
John C. Baez adalah fisikawan matematika yang saat ini bermarkas di Center for Quantum Technologies Singapura. Sebelumnya dia menggali pertanyaan-pertanyaan dalam fisika fundamental. John Huerta sedang menyelesaikan Ph.D. matematika di Universitas California, Riverside. Dia meneliti fondasi supersimetri.

Untuk Digali Lebih Jauh

  • An Imaginary Tale: The Story of the Square Root of –1. Paul J. Nahin. Princeton University Press, 1998.
  • The Octonions. John C. Baez dalam Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 39, hal. 145–205, 2002. Makalah dan bibliografi tambahan di http://math.ucr.edu/home/baez/octonions.
  • Ubiquitous Octonions. Helen Joyce dalam Plus Magazine, Vol. 33; Januari 2005. http://plus.maths.org/content/33.

Scientific American Online
Simak aksi rotasi tiga-dimensi di ScientificAmerican.com/may2011/octonions

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s