Sejarah Singkat Ketakterhinggaan

Oleh: A.W. Moore
Ilustrasi oleh: Jared Schneidman Design
(Sumber: Mathematical American, Desember 2003, hal. 21-24)

Ketakterhinggaan adalah konsep yang licin. Bahkan pandangan matematis yang diterima secara luas, yang dikembangkan oleh George Cantor, mungkin belum betul-betul menempatkan ketakterhinggaan di atas fondasi yang kokoh.

Selama lebih dari dua milenium, para matematikawan, seperti masyarakat pada umumnya, tidak yakin bagaimana menyimpulkan ketakterhinggaan. Beberapa paradoks yang dibuat oleh para pemikir Yunani dan abad pertengahan telah meyakinkan mereka bahwa ketakterhinggaan tidak boleh dipelajari tanpa terjamah hukum. Lalu, di tahun 1870-an, matematikawan Jerman Georg Cantor memperkenalkan matematika transfinit, cabang matematika yang kelihatannya memecahkan semua teka-teki ketakterhinggaan. Dalam penelitiannya, Cantor menunjukkan bahwa bilangan ananta (infinite number) memang ada, bahwa mereka terdiri dari berbagai ukuran, dan bahwa mereka bisa dipakai untuk mengukur cakupan himpunan ananta (infinite set). Tapi betulkah dia sudah menghilangkan semua keraguan tentang urusan ketakterhinggaan dalam matematika? Banyak orang percaya demikian, tapi saya ingin menyatakan, mungkin dia malah menguatkan keraguan ini.

Permusuhan matematikawan terhadap ketakterhinggaan berawal di abad 5 SM, ketika Zeno dari Elea, murid Parmenides, merumuskan paradoks terkenal: Achilles dan kura-kura [lihat “Memecahkan Paradoks Zeno”, tulisan William I McLaughlin]. Dalam teka-teki ini, sang setengah-dewa yang tangkas menantang kura-kura lamban untuk berlomba dan mempersilakannya start lebih dulu. Sebelum bisa menyusulnya, dia harus mencapai titik di mana kura-kura memulai, yang pada waktu itu kura-kura sudah maju sedikit. Achilles kini harus menempuh jarak baru yang memisahkan mereka, tapi pada saat dia berbuat ini, kura-kura sudah maju lagi. Dan begitu seterusnya, ad infinitum. Rupanya Achilles takkan bisa menyusul kura-kura. Dengan cara yang sama Zeno berargumen bahwa menyelesaikan lintasan balap adalah mustahil. Untuk melakukannya, dia harus mencapai titik separuh jalan, lalu titik tiga perempat jalan, lalu titik tujuh perdelapan jalan, dan seterusnya. Zeno berkesimpulan, bukan hanya bahwa gerak itu mustahil, tapi juga sebaiknya kita tidak berpikir soal ketakterhinggaan.

Matematikawan Eudoxus, sama-sama waspada terhadap ketakterhinggaan, mengembangkan metode exhaustion untuk menghindarinya dalam konteks geometri tertentu. Archimedes mengeksploitasi metode ini sekitar 100 tahun kemudian dan menemukan luas lingkaran yang akurat. Bagaimana dia memulainya? Pada boks di bawah, saya tidak menyajikan derivasi sesungguhnya, melainkan sempalannya. Bagian dari prosedur Archimedes adalah mempertimbangkan rumus untuk luas poligon dengan sisi-sisi setara n—sebut saja Pn—yang terpahat di dalam lingkaran C. Menurut distorsi argumennya, rumus ini dapat diterapkan pada lingkaran itu sendiri, yang sebetulnya merupakan poligon dengan sisi-sisi kecil tak terhingga dalam jumlah tak terhingga.

Archimedes dan Luas Lingkaran

Penyimpangan argumen Archimedes memiliki daya tarik intuitif, tapi belum memuaskannya. Kita tidak bisa memanfaatkan ketakterhinggaan tanpa kritik seolah itu cuma bilangan bulat yang luar biasa besar. Sesungguhnya, semakin besar n-nya, semakin dekat Pn menyamai C. Tapi, semakin besar n, semakin dekat pula Pn menyerupai lingkaran bertonjolan—sebut saja C*. Secara intuisi poin kuncinya adalah bahwa C, tak seperti imbangan cacatnya (C*), merupakan batas poligon-poligon—atau tempat ke mana mereka mengarah.

Tetap saja, sulit sekali menangkap intuisi ini tanpa, sekali lagi, membayangkan C sebagai “infinigon”. Archimedes menyediakan cara. Dia menunjukkan perbedaan krusial antara C dan C* dengan membuktikan poin berikut: tak peduli betapapun kecilnya luas yang Anda pikirkan, sebut saja ε (huruf epsilon Yunani), pasti terdapat bilangan bulat n yang cukup besar untuk [menampung] luas Pn di dalam epsilon luas C. Ini tidak berlaku pada C*. Fakta ini, digabung dengan hasil serupa untuk poligon-poligon berbatas dan ditambah logika versi perbaikan yang termuat di dalam argumen tersebut, akhirnya memungkinkan Archimedes untuk membuktikan, tanpa pernah menyinggung ketakterhinggaan, bahwa luas lingkaran sama dengan πr2.

Ketakterhinggaan Aktual dan Potensial
Walaupun Archimedes berhasil menghindari ketakterhinggaan dalam pekerjaan ini, Pythagorean (perkumpulan keagamaan yang didirikan oleh Pythagoras) menemukan kasus di mana ketakterhinggaan tidak terelakkan. Temuan ini menghancurkan keyakinan mereka terhadap dua prinsip kosmologis fundamental: Peras (batas), yang meliputi semua kebaikan, dan Apeiron (tak terbatas atau tak terhingga), yang mencakup semua keburukan. Mereka bersikeras seluruh penciptaan dapat dipahami dari segi, dan bahkan tersusun dari, bilangan-bilangan bulat positif, yang masing-masingnya terhingga. Reduksi ini dimungkinkan, kukuh mereka, oleh fakta bahwa Peras selalu menaklukkan Apeiron.

Namun, Pythagoras menemukan bahwa kuadrat hipotenuse (sisi terpanjang) sebuah segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya. Berdasarkan teorema ini, rasio diagonal sebuah kuadrat banding tiap sisi adalah √2 banding 1, karena 12 + 12 = (√2)2. Andaikata Peras tidak bisa ditembus, rasio ini semestinya dapat diekspresikan dalam bentuk p banding q, di mana p dan q adalah bilangan bulat positif. Tapi ini mustahil. Bayangkan dua bilangan bulat positif, p dan q, di mana rasio p banding q, atau p dibagi q, sama dengan √2. Kita bisa asumsikan p dan q tak memiliki faktor bersama (common factor) lebih besar dari 1 (kalau perlu kita dapat membagi dengan faktor tersebut). Nah, p2 adalah dua kali q2. Jadi p2 adalah bilangan genap, yang berarti p sendiri bilangan genap. Karenanya, q harus bilangan ganjil, kalau tidak, 2 akan menjadi faktor bersama. Tapi pikirkan: jika p adalah bilangan genap, maka harus ada bilangan bulat positif r yang persis setengah p. Oleh sebab itu, (2r)2 sama dengan 2q2, atau 2r2 sama dengan q2, yang berarti q2 adalah bilangan genap, dan q sendiri juga bilangan genap, berkebalikan dengan apa yang dibuktikan di atas.

Bagi Pythagorean, hasil ini menjadi malapetaka. (Menurut legenda, salah seorang dari mereka dibinasakan bersama kapalnya di laut karena mengungkap penemuan ini kepada musuh.) Mereka telah menemukan bilangan “irasional”. Mereka menjumpai pembatasan bilangan bulat positif, dan mereka terpaksa mengakui keberadaan ketakterhinggaan. Bahkan, matematikawan modern akan menyebut √2 adalah sejenis “objek ananta” (infinite object). Bukan hanya bahwa perluasan desimalnya tak terhingga, tapi juga perluasan ini tak pernah mengadopsi pola terhingga berulang.

Di abad ke-4 SM, Aristoteles mengenali persoalan yang lebih umum. DI satu sisi, kita ditekan untuk mengakui ketakterhinggaan. Terlepas dari pendapat kita soal √2, waktu seperti membentang tanpa batas, bilangan seperti berlanjut tanpa ujung, sedangkan ruang, waktu, dan materi seperti dapat dibelah selamanya. Di sisi lain, kita ditekan dari berbagai sumber, termasuk paradoks Zeno, untuk menanggalkan ketakterhinggaan.

Solusi Aristoteles terhadap dilema ini sangat bagus. Dia membedakan dua jenis ketakterhinggaan. Ketakterhinggaan aktual (actual infinite) adalah yang infinitude-nya eksis di suatu titik waktu. Sebaliknya, ketakterhinggaan potensial (potential infinite) adalah yang infinitude-nya tersebar di seantero waktu. Segala keberatan terhadap ketakterhinggaan, tegas Aristoteles, adalah keberatan terhadap ketakterhinggaan aktual. Ketakterhinggaan potensial, di sisi lain, merupakan fitur realitas yang fundamental. Ia patut dikenali dalam proses-proses yang tak pernah berakhir, termasuk menghitung, pembelahan materi, dan perlaluan waktu itu sendiri. Pembedaan dua tipe ketakterhinggaan ini menyediakan solusi untuk paradoks Zeno. Melintasi sekawasan ruang bukan berarti melintasi ketakterhinggaan aktual subkawasan-subkawasan, yang mana mustahil, melainkan melintasi ketakterhinggaan potensial subkawasan-subkawasan, artinya tak ada akhir untuk proses pembelahan ruang. Kesimpulan ini untungnya aman.

Pemisahan ketakterhinggaan aktual dan potensial sudah lama berlaku sebagai ortodoksi. Meski begitu, para cendekiawan biasanya menafsirkan penyebutan waktu oleh Aristoteles sebagai metafora untuk sesuatu yang lebih dalam dan lebih abstrak. Eksis “di [suatu] waktu” atau eksis “serempak” memikul makna yang jauh lebih luas. Keberatan terhadap ketakterhinggaan aktual sama dengan keberatan terhadap gagasan bahwa suatu entitas boleh jadi memiliki atribut yang melampaui segala ukuran terhingga. Ini juga sama dengan menyangkal bahwa ketakterhinggaan sendiri adalah objek studi yang sah.

Kurang-lebih 2.000 tahun kemudian, ketakterhinggaan, baik aktual maupun potensial, sekali lagi menyita perhatian para matematikawan ketika mengembangkan kalkulus. Penelitian awal kalkulus, yang diantarkan oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz di akhir abad 17, jauh dari standar keras Yunani. Bahkan, matematikawan memanfaatkan inifinitesimal—bilangan yang dianggap terlalu kecil untuk diukur—secara luas dan tanpa kritik. Terkadang kuantitas ini dianggap sama dengan nol. Contoh, saat mereka ditambahkan pada bilangan lain, harga bilangan asli tetap sama. Di lain waktu, mereka dianggap tidak sama dengan nol dan dipakai dalam pembagian. Guillaume François Antoine de l’Hôpital menulis: “Kurva boleh dipertimbangkan sebagai totalitas ketakterhinggaan segmen-segmen lurus, masing-masing kecil tak terhingga, atau…sebagai poligon dengan jumlah sisi tak terhingga.” Baru pada abad 19-lah matematikawan Prancis Augustin Louis Cauchy dan matematikawan Jerman Karl Weierstrass membangkitkan metode exhaustion dan memberi fondasi yang aman untuk kalkulus.

Ketakterhinggaan dan Ekuinumerositas
Sebagai buah dari penelitian Cauchy dan Weierstrass, sebagian besar fisikawan merasa kurang terancam oleh paradoks Zeno. Yang lebih menjadi perhatian kala itu adalah sekelompok paradoks yang lahir di Abad Pertengahan berkenaan dengan ekuinumerositas. Teka-teki ini berasal dari prinsip bahwa jika memasangkan semua anggota suatu himpunan dengan semua anggota himpunan lain dapat dilakukan, maka kedua himpunan harus memiliki anggota yang sama banyaknya. Contoh, di masyarakat non-poligami, jumlah isteri harus sebanyak suami. Kelihatannya prinsip ini tak patut dipersoalkan. Namun, diterapkan pada himpunan tak terhingga, ini seperti mencemooh gagasan dasar yang pertama kali diartikulasikan oleh Euclid: kesatuan/keseluruhan (the whole) selalu lebih besar daripada komponen/unsurnya (the part). Contoh, kita dapat memasangkan semua bilangan bulat positif dengan semua bilangan bulat positif genap: 1 dengan 2, 2 dengan 4, 3 dengan 6, dan seterusnya—terlepas dari fakta bahwa bilangan bulat positif juga mencakup bilangan ganjil.

Orang-orang abad pertengahan mengajukan banyak contoh serupa, yang sebagiannya [berbentuk] geometri. Di abad 13, matematikawan Skotlandia John Duns Scotus kebingungan dengan kasus dua lingkaran konsentris: semua titik di keliling pendek lingkaran kecil dapat dipasangkan dengan semua titik di keliling panjang lingkaran besar. Hasil serupa berlaku pada dua bola. Sekitar 350 tahun kemudian Galileo membahas variasi contoh pemasangan bilangan bulat genap, berdasarkan bilangan bulat yang dikuadratkan. Yang paling mencolok adalah fakta bahwa semakin kita memikirkan segmen-segmen besar dalam deretan bilangan bulat positif, semakin condong proporsi bilangan-bilangan bulat ini (yakni yang dikuadratkan) ke arah nol. Meski demikian pemasangan tetap berlanjut tanpa batas.

Kita pasti tergoda, mengingat semua kesulitan ini, untuk mengelak dari himpunan ananta sama sekali. Yang lebih umum adalah godaan untuk menyangkal, seperti halnya Aristoteles, bahwa entitas-entitas yang tak terhingga banyaknya dapat dikumpulkan sekaligus. Tapi pada akhirnya, Cantor menantang pandangan Aristotelian. Dalam penelitian gemilang, dia mengikutsertakan paradoks-paradoks tersebut dan merumuskan teori ketakterhinggaan aktual yang koheren, sistematis, dan presisi, siap menghadapi pandangan skeptis apapun. Cantor menerima prinsip “pemasangan” dan kebalikannya, yakni tak ada dua himpunan yang ekuinumeros kecuali kalau anggota mereka dapat dipasangkan. Karena itu pula dia menerima bahwa bilangan bulat positif genap sama banyaknya dengan bilangan bulat positif secara keseluruhan (dan demikian pula dalam kasus-kasus paradoks lain).

Untuk kepentingan argumentasi, dan sesuai kaidah matematika kontemporer, mari kita berbuat demikian. Jika prinsip ini menyatakan bahwa kesatuan tidak lebih besar daripada komponennya, baiklah. Faktanya kita dapat memakai ide ini untuk menetapkan [batas] ketakterhinggaan, setidaknya dalam penerapan pada himpunan: sebuah himpunan dikatakan tak terhingga jika ia lebih kecil daripada salah satu komponennya. Lebih tepatnya, sebuah himpunan dikatakan tak terhingga jika anggotanya sebanyak anggota salah satu subhimpunan wajarnya (proper subset).

Yang tetap menjadi pertanyaan terbuka, sekalinya persoalan dijelaskan dengan cara ini, adalah apakah semua himpunan ananta [bersifat] ekuinumeros. Demonstrasi Cantor menunjukkan tidak demikian, dan demonstrasi inilah yang paling terasa pengaruhnya. Terdapat ukuran-ukuran ketakterhinggaan yang berbeda-beda. Proposisi ini dihasilkan dari teorema Cantor: tak ada himpunan, rincinya tak ada himpunan ananta, yang [jumlah] anggotanya sebanyak subhimpunannya. Dengan kata lain, tak ada himpunan yang sebesar himpunan subhimpunan-subhimpunannya. Kenapa tidak? Karena jika ada [himpunan sebesar itu], kita akan dapat memasangkan semua anggotanya dengan semua subhimpunannya. Dengan begitu sebagian anggota akan dipasangkan dengan subhimpunan-subhimpunan yang menampung mereka, yang lain tidak. Apa salahnya kalau himpunan anggota-anggota tersebut tidak tercakup dalam himpunan yang dipasangkan dengan mereka? Tak ada anggota yang bisa dipasangkan dengan subhimpunan ini tanpa kontradiksi.

Himpunan Ananta dan Bola

Argumen ini dapat dituangkan ke dalam sebuah diagram [lihat ilustrasi “Archimedes dan Luas Lingkaran”]. Untuk mudahnya saya akan fokus pada himpunan bilangan bulat positif. Saya bisa melambangkan subhimpunan-subhimpunan dalam himpunan bilangan bulat positif dengan deretan ya dan tidak yang tak terhingga, menunjukkan apakah bilangan bulat positif yang berturut-turut adalah anggota himpunan atau bukan. Contoh, himpunan bilangan bulat genap dapat dilambangkan dengan deretan <tidak, ya, tidak, ya, tidak…>, ekuivalen dengan 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Kita bisa berbuat sama pada himpunan bilangan bulat ganjil <ya, tidak, ya, tidak, ya…>, himpunan bilangan prima <tidak, ya, ya, tidak, ya…>, dan himpunan bilangan kuadrat <ya, tidak, tidak, ya, tidak…>. Dengan demikian, secara umum penetapan subhimpunan-subhimpunan berlainan pada masing-masing bilangan bulat positif (seperti contoh sembarang yang telah diilustrasikan) dapat dilambangkan sebagai kuadrat ya dan tidak yang tak terhingga.

Untuk menunjukkan bahwa sekurangnya satu subhimpunan tak ada dalam daftar subhimpunan ini, kita membuat subhimpunan baru dengan menggeser “diagonal kuadrat” ke bawah, mengganti setiap “ya” dengan “tidak”, dan sebaliknya. Dalam ilustrasi kasus, kita menulis <ya, ya, tidak, tidak…>. Alhasil melambangkan subhimpunan yang dimaksud. Secara susunan, ia berbeda dari subhimpunan pertama yang terdaftar berkenaan dengan apakah 1 adalah anggotanya, berbeda dari subhimpunan kedua berkenaan apakah 2 adalah anggotanya, berbeda dari subhimpunan ketiga berkenaan dengan apakah 3 adalah anggotanya, dan seterusnya. Ada fitur bersejarah yang menyenangkan di sini: sebagaimana studi diagonal telah menuntun Pythagorean untuk mengakui infinitude meski di luar pemahaman bilangan bulat positif, hal yang sama berlaku dengan cara berbeda dalam kasus Cantor.

Teorema Cantor

Di kemudian hari Cantor menemukan bilangan pokok ananta—bilangan yang bisa dipakai untuk mengukur ukuran himpunan-himpunan ananta. Dia juga menemukan sejenis aritmetikanya. Setelah menetapkan syarat-syaratnya, dia memeriksa apa yang terjadi ketika suatu bilangan pokok ananta ditambahkan dengan bilangan pokok ananta lain, ketika dikalikan dengan yang lain, ketika dipangkatkan, dan sebagainya. Penelitiannya menunjukkan keterampilan matematis berkaliber tinggi. Tapi, menurut ucapannya sendiri, masih terdapat kesulitan. Persoalan malaran (continuum problem) adalah yang paling dikenal di antara masalah-masalah ini. Himpunan bilangan bulat positif, kita sudah simak, lebih kecil daripada himpunan [berisi] himpunan-himpunan bilangan bulat positif. Tapi seberapa kecil? Rincinya, adakah himpunan-himpunan ukuran sedang?

Hipotesis Malaran Cantor
Hipotesis Cantor yang masyhur, “hipotesis malaran”, menyebutkan bahwa tidak ada [himpunan ukuran sedang]. Tapi dia tak pernah berhasil membuktikan ide ini, ataupun membantahnya. Penelitian berikutnya menunjukkan situasinya jauh lebih seram dari yang dia bayangkan. Menggunakan semua metode matematika modern yang diakui, isu ini tetap tak dapat diselesaikan. Persoalan ini menimbulkan pertanyaan filosofis tentang determinansi konsepsi Cantor. Menanyakan apakah hipotesis malaran ini benar sama dengan menanyakan apakah Hamlet kidal. Mungkin belum cukup banyak hal yang diketahui untuk menyusun jawabannya. Kalau begitu, kita mesti memikirkan ulang seberapa baik penelitian Cantor menjinakkan ketidakterhinggaan aktual.

Yang lebih signifikan lagi adalah pertanyaan seputar himpunan [berisi] semua himpunan. Berdasarkan teorema Cantor, kumpulan ini harus lebih kecil daripada himpunan [berisi] himpunan-himpunan [berisi] himpunan-himpunan. Tapi tunggu dulu! Himpunan-himpunan [berisi] himpunan-himpunan sendiri merupakan himpunan, oleh karenanya himpunan [berisi] himpunan-himpunan harus lebih kecil daripada salah satu subhimpunan wajarnya. Namun itu mustahil. Kesatuan boleh seukuran dengan komponennya, tapi tak boleh lebih kecil. Bagaimana Cantor lolos dari perangkap ini? Dengan ketabahan luar biasa dia menyangkal ada yang namanya himpunan [berisi] himpunan-himpunan. Penalarannya terdapat dalam gambaran: apa itu himpunan-himpunan. Ada entitas-entitas yang bukan himpunan-himpunan, lalu ada himpunan-himpunan [berisi] semua entitas ini, lalu ada himpunan-himpunan [berisi] semua entitas itu, dan seterusnya, tanpa akhir. Tiap himpunan adalah bagian dari himpunan berikutnya, tapi tak pernah ada himpunan yang menjadi induk setiap himpunan.

Penalaran Cantor mungkin agak ad hoc. Tapi argumen seperti ini dibutuhkan, sebagaimana terungkap oleh paradoks Bertrand Russell yang terus dikenang, yang ditemukan di tahun 1901. Paradoks ini menyangkut himpunan [berisi] semua himpunan yang bukan bagian dari mereka sendiri. Sebut saja ini himpunan R. Himpunan tikus-tikus, misalnya, adalah anggota R; ia bukan bagian dari dirinya sendiri, sebab ia adalah sebuah himpunan, bukan seekor tikus. Paradoks Russell bergantung pada apakah R boleh menjadi bagian dari dirinya sendiri. Jika ya, secara definisi ia bukan bagian dari R. Jika tidak, ia memenuhi syarat untuk menjadi anggota R dan dengan demikian bagian darinya. Apapun himpunannya, ada yang meragukan soal R. Dalam pandangan Cantor, di mana menurutnya tak ada himpunan yang menjadi bagian dari dirinya sendiri, jikapun eksis R adalah himpunan [berisi] semua himpunan. Argumen ini menjadikan gambaran Cantor, dan penolakan R-nya, terasa lebih masuk akal.

Tapi bukankah gambaran tersebut sangat bernuansa Aristotelian? Perhatikan metafora temporal berikut. Himpunan-himpunan digambarkan mewujud/menjelma “menuruti” anggota-anggota mereka—sehingga selalu ada lagi yang akan timbul. Infinitude kolektif mereka, berlawanan dengan infinitude salah satu dari mereka, adalah potensial, bukan aktual. Toh, bukankah infintude kolektif ini yang paling berhak atas gelar tersebut? Masyarakat memang biasanya mendefinisikan ketakterhinggaan sebagai sesuatu yang tak berujung, tak berbatas, tak dapat ditinjau, dan tak dapat diukur. Segelintir orang mengakui bahwa definisi teknis himpunan ananta mengungkapkan pemahaman intuitif mereka akan konsep ini. Tapi menurut gambaran Canton, ketakberujungan, ketakberbatasan, ketaktertinjauan, dan ketakterukuran lebih pantas berlaku pada seluruh hirarki ketimbang pada salah satu himpunan tertentu di dalamnya.

Diagonalisasi dan Teorema Gödel

Diagonalisasi yang dipakai dalam membangun teorema Cantor juga menjadi jantung teorema terkenal tahun 1931 milik matematikawan Austria, Kurt Gödel. Dengan mempelajarinya kita akan mendapat pandangan jelas tentang temuan Gödel.

Teorema Gödel berurusan dengan sistem-sistem formal aritmetika. Aritmetika yang saya maksud adalah teori bilangan bulat positif dan operasi-operasi dasar yang berlaku padanya, seperti penjumlahan dan perkalian. Teorema ini menyatakan bahwa tak ada satupun sistem hukum (aksioma dan kaidah) yang cukup kuat untuk membuktikan semua pernyataan aritmetika yang benar tanpa pada saat yang sama “membuktikan” pernyataan yang salah. Sama artinya, tak ada satupun algoritma untuk membedakan pernyataan aritmetika yang benar dari pernyataan yang salah. Dua definisi dan dua lema, atau proposisi, dibutuhkan untuk membuktikan teorema Gödel. Bukti lema tidak memungkinkan dalam batas-batas ini, walaupun masing-masing cukup masuk akal.

Definisi 1: Sebuah himpunan bilangan bulat positif dapat didefinisikan secara aritmetik jika ia dapat didefinisikan dengan terminologi aritmetika standar. Contohnya adalah himpunan bilangan kuadrat, himpunan bilangan prima, dan himpunan bilangan bulat positif kurang dari, katakanlah, 821.

Definisi 2: Sebuah himpunan bilangan bulat positif dapat ditetapkan jika ada algoritma untuk menentukan apakah suatu bilangan bulat positif adalah anggota himpunan tersebut. Tiga himpunan yang sama di atas adalah contohnya.

Lema 1: Ada cara algoritmik untuk memasangkan bilangan bulat positif dengan himpunan-himpunan yang dapat didefinisikan secara aritmetik.

Lema 2: Setiap himpunan yang dapat ditetapkan [berarti] dapat didefinisikan secara aritmetik.

Berdasarkan lema 1, diagonalisasi menghasilkan himpunan bilangan bulat positif yang tidak dapat didefinisikan secara aritmetik. Sebut saja ini himpunan D. Sekarang asumsikan, berlawanan dengan teorema Gödel, terdapat algoritma untuk membedakan pernyataan aritmetika yang benar dan yang salah. Dengan demikian, D, dikarenakan konstruksinya, dapat ditetapkan. Tapi berdasarkan lema 2, proposisi ini bertentangan dengan fakta bahwa D tidak dapat didefinisikan secara aritmetik. Jadi, biar bagaimanapun teorema Gödel tetap berlaku. Masih harus dibuktikan.

Kalau begitu, sedikit-banyak Cantor menunjukkan bahwa himpunan bilangan bulat positif, contohnya, “betul-betul” terhingga, dan bahwa apa yang “betul-betul” tak terhingga jauh melebihi itu. (Dia sendiri tak menolak berbicara dalam pijakan ini.) Ironisnya, penelitiannya seperti memberi substansi kepada ortodoksi Aristotelian bahwa infinitude “riil” tak pernah bisa menjadi aktual.

Beberapa cendekiawan merasa keberatan dengan usulan saya bahwa, dalam konsepsi Cantor, himpunan bilangan bulat positif adalah “betul-betul” terhingga. Mereka mengeluh, pernyataan ini bukan cuma berselisih dengan terminologi matematika standar tapi juga dengan perkataan banyak orang.

Well, sudah pasti kebanyakan orang akan menyebut himpunan bilangan bulat positif “betul-betul” tak terhingga. Tapi berarti banyak orang tak menyadari hasil Cantor. Mereka juga akan membantah bahwa suatu himpunan ananta bisa lebih besar daripada himpunan ananta lainnya. Pendapat saya ini bukan tentang apa kata orang, tapi bagaimana mereka memahami pijakannya sendiri—dan bagaimana pemahaman ini mampu, untuk tujuan apapun, menyerap goncangan temuan Cantor. Tak ada pemaksaan di sini. Kita boleh bilang beberapa himpunan ananta lebih besar daripada yang lain. Kita boleh bilang himpunan bilangan bulat positif hanyalah terhingga. Kita boleh tidak memilih salah satu pernyataan di atas, dan membantah bahwa himpunan bilangan bulat positif itu eksis.

Jika tugas mendatang adalah untuk mengartikulasikan temuan-temuan matematika standar tertentu, saya menganjurkan penggunaan terminologi matematika standar saja. Tapi saya mendorong para matematikawan dan ilmuwan lain untuk lebih berhati-hati dalam menaksir bagaimana temuan Cantor bersinggungan dengan konsepsi ketakterhinggaan tradisional. Rupanya, ketakterhinggaan sejati masih jauh dari genggaman kita.

Penulis
A.W. Moore adalah tutorial fellow ilmu filsafat di St. Hugh’s College Universitas Oxford. Dia menempuh Ph.D. di bidang filsafat bahasa di Balliol College, Oxford. Minat akademisnya adalah logika, metafisika, dan filsafat Immanuel Kant dan Ludwig Wittgenstein, yang kesemuanya membantu penelitiannya mengenai ketakterhinggaan. Dia sedang mengerjakan sebuah buku metafisika objektivitas dan subjektivitas.

Bacaan Lebih Lanjut

  • Infinity and the Mind: The Science and the Philosophy of the Infinite. Rudy Rucker. Harvester, 1982.
  • To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite. Eli Maor. Birkhauser, 1986.
  • The Infinite. A.W. Moore. Routledge, 1990.
  • Infinity. Disunting oleh A.W. Moore. Dartmouth, 1993.
  • Understanding the Infinite. Shaughan Lavine. Harvard University Press, 1994.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s