Matinya Bukti

Oleh: John Horgan
(Sumber: Mathematical American, Desember 2003, hal. 10-15)

Komputer sedang mengubah cara matematikawan dalam menemukan, membuktikan, dan menyampaikan ide-ide, tapi adakah tempat untuk kepastian mutlak di dunia baru ini?

Legenda menyebut, tatkala Pythagoras dan para pengikutnya menemukan teorema yang menyandang namanya di abad 6 SM, mereka menyembelih seekor lembu jantan dan berpesta untuk merayakan. Sah-sah saja. Temuan mereka, yaitu hubungan antara sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku, terus berlaku, bukan kadangkala atau seringkali, tapi selalu—tak peduli apakah segitiganya berupa sepotong sutera atau sebidang tanah atau lambang di atas daun lontar. Ini seperti sihir, anugerah para dewa. Tak heran begitu banyak pemikir, dari Plato hingga Kant, menjadi yakin bahwa matematika menawarkan kebenaran paling murni yang boleh diketahui manusia.

Keyakinan tersebut tampaknya dipertegas lagi pada bulan Juni lalu ketika Andrew J. Wiles dari Universitas Princeton mengungkap, dalam pertemuan di Universitas Cambridge, bahwa dirinya telah memecahkan teorema terakhir Fermat. Persoalan ini, salah satu yang paling terkenal dalam matematika, diajukan lebih dari 350 tahun lampau, dan berakar dari Pythagoras sendiri. Karena tak tersedia lembu jantan, para pendengar Wiles menunjukkan apresiasi mereka dengan bertepuk tangan.

Tapi apakah bukti atas teorema terakhir Fermat ini menjadi hembusan nafas terakhir peradaban yang sekarat? Matematika, usaha intelektual yang paling terikat tradisi, sedang mengalami perubahan mendasar. Selama bermilenium-milenium, matematikawan mengukur kemajuan dengan apa yang bisa mereka demonstrasikan melalui bukti-bukti—yakni, serangkaian langkah logis dari seperangkat aksioma menuju kesimpulan tak terbantahkan. Kini keraguan yang membingungkan pikiran manusia modern akhirnya menjangkiti matematika. Mungkin pada akhirnya nanti matematikawan terpaksa menerima apa yang sudah diakui oleh banyak ilmuwan dan filsuf: pernyataan mereka, paling banter, benar untuk sementara saja, benar sampai terbukti salah.

Ketidakpastian ini sebagian berasal dari kompleksitas matematika yang semakin bertambah. Bukti-bukti kerapkali begitu panjang dan rumit, hingga sulit dievaluasi. Demonstrasi Wiles mencapai 200 halaman—dan para pakar memperkirakan, ini bisa saja lima kali lebih panjang jika dia menguraikan semua elemennya. Seorang pengamat menyatakan, cuma sepersepuluh dari 1% komunitas matematika yang memenuhi kualifikasi untuk mengevaluasi bukti ini. Klaim Wiles sebagian besar diterima atas dasar reputasinya dan reputasi orang-orang yang karyanya dijadikan landasan. Meski demikian, matematikawan yang belum memeriksa argumennya secara detil menyebutnya “tampak indah” dan “bernada kebenaran”.

Katalisator perubahan lain adalah komputer, yang memaksa matematikawan mempertimbangkan ulang sifat bukti dan fakta. Pada tahun-tahun belakangan, sebagian bukti mensyaratkan kalkulasi besar dengan komputer. Manusia semata tak sanggup memverifikasi bukti-bukti komputer ini, yang bisa adalah komputer lain. Baru-baru ini para penyelidik mengemukakan bukti komputasi yang cuma menyodorkan probabilitas fakta—bukan kepastian fakta. Ini menjadi semacam pengumuman bahwasanya sebagian matematikawan mengakui oksimoron. Yang lain memproduksi “bukti video” dengan harapan akan lebih persuasif ketimbang halaman-halaman terminologi formal.

Pada saat yang sama, sebagian matematikawan menantang gagasan bahwa bukti formal mesti menjadi standar fakta tertinggi. Walaupun tak ada yang menganjurkan penyingkiran bukti sama sekali, beberapa praktisi menganggap validitas proposisi tertentu dapat lebih ditegakkan dengan membandingkannya dengan eksperimen komputer atau fenomena dunia riil. “Dalam 50 tahun ke depan, saya kira signifikansi bukti dalam matematika akan berkurang,” kata Keith Devlin dari Colby College, yang menulis sebuah kolom mengenai komputer untuk Notices of the American Mathematical Society. “Anda akan saksikan semakin banyak orang mengerjakan matematika tanpa perlu mengerjakan bukti.”

Kekuatan institusi berpengaruh sedang menyebarluaskan bid’ah ini. Selama beberapa tahun, National Science Foundation mendorong matematikawan untuk semakin terlibat dalam ilmu komputer dan bidang-bidang lain yang mempunyai potensi penerapan. Beberapa tokoh terkemuka, khususnya Phillip A. Griffiths, direktur Institute for Advanced Study di Princeton, N.J., dan Michael Atiyah, peraih Fields Medal (sering dijuluki Nobel Prize-nya matematika) tahun 1966 dan kini mengepalai Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences di Cambridge, turut menyemangati matematikawan agar berani turun dari menara gading mereka dan bergaul dengan dunia riil. Di kala dana dan pekerjaan langka, matematikawan belia tak sanggup mengabaikan desakan ini.

Tentu saja ada kantong-kantong perlawanan. Sebagian pekerja mengeluh getir perihal komputerisasi bidang mereka dan bertambahnya penekanan pada (ah, istilah yang menjijikkan) “penerapan”. Salah seorang jawara tradisi paling vokal adalah Steven G. Krantz dari Universitas Washington. Dalam pidato-pidato dan artikelnya, Krantz mendorong para mahasiswa untuk memilih matematika daripada ilmu komputer, yang, peringatnya, boleh jadi hanya iseng lewat. Tahun lalu, kenangnya, seorang perwakilan National Science Foundation datang ke universitasnya dan memberitahukan bahwa lembaganya tak bisa lagi mendukung matematika yang tidak “berorientasi tujuan”. “Kita bisa saja berdiri tegak dan mengatakan ini tidak benar,” gerutu Krantz, “tapi matematikawan orang yang sembrono dan lemah, dan mereka tak punya tradisi berbuat demikian.”

David Mumford dari Universitas Harvard, yang memenangkan Fields Medal tahun 1974 atas riset matematika murni dan kini sedang mempelajari penglihatan artifisial, baru-baru ini menulis, “Terlepas dari segala gembar-gembor, pers, tekanan lembaga pendanaan, dan lain sebagainya, komunitas matematika murni pada umumnya masih menganggap komputer sebagai penyerbu, perampas tanah suci.” Tahun lalu Mumford menawarkan sebuah kursus di mana instruktur akan menunjuki siswa bagaimana caranya memprogram komputer supaya menemukan solusi dalam kalkulus tingkat lanjut. “Saya diveto,” kenangnya, “bukan karena para siswa mungkin akan mengeluh, seperti yang saya perkirakan, tapi karena separuh rekan saya sesama guru tak mampu memprogram!”

Situasi tersebut berubah cepat, jika Geometry Center di Universitas Minnesota menjadi indikasinya. Didirikan dua tahun lalu, Geometry Center menempati lantai lima berbahan polihedron baja dan kaca mengkilat di Minneapolis. Ia menerima $2 juta per tahun dari National Science Foundation, Departemen Energi, dan universitas bersangkutan. Para staf pengajar permanennya, yang kebanyakan memegang jabatan di tempat lain, mencakup beberapa matematikawan terkemuka dunia.

Baru-baru ini, beberapa staf muda di sana menyunting sebuah video yang mendemonstrasikan bagaimana bola dapat ditumbuk, dipilin, direnggut, dan terakhir dibalik sebelah dalamnya keluar. Di sebuah ruang konferensi, tiga ilmuwan komputer dari universitas-universitas besar memberitahu banyak guru SMU bagaimana cara menciptakan program grafik komputer untuk mengajarkan matematika. Para periset lain duduk di terminal-terminal NeXT berwarna arang, merenungkan gambar-gambar “hiperkubus” empat-dimensi bercorak seram, fraktal-fraktal memusar, kekisi yang terjun menuju ketakterhinggaan. Tak tampak kertas ataupun pensil.

Di salah satu terminal ada David BenZvi, junior berambut Harpo Max di Princeton yang sedang menghabiskan enam bulan di sana untuk menjelajahi dinamika non-linier. Dia menampik kekhawatiran sebagian matematikawan bahwa komputer akan memancing mereka lepas dari metode-metode yang sudah begitu lama membantu mereka. “Mereka hanya takut dengan perubahan,” katanya enteng.

Geometry Center merupakan lingkungan kondusif untuk matematika eksperimental, di mana para penyelidik menguji ide mereka dengan menyajikannya secara grafis dan melakukan kalkulasi pada komputer. Tahun lalu sebagian staf pengajarnya membantu mendirikan sebuah jurnal, Experimental Mathematics, yang memamerkan penelitian semacam ini. “Metode eksperimental bukan barang baru dalam matematika,” tinjau editor jurnal bersangkutan, David D.A. Epstein dari Universitas Warwick di Inggris, seraya mencatat bahwa Carl Friedrich Gauss dan tokoh besar lain sering melakukan kalkulasi eksperimental sebelum mengkonstruksi bukti formal. “Yang baru adalah bahwa ini terhormat.” Epstein mengakui, tidak semua rekan pekerjanya menerima demikian. “Salah seorang kolega saya berkata, ‘Jurnal Anda semestinya dinamai Journal of Unproved Theorems.’”

Anakronisme Agung?

Mereka yang menganggap matematika eksperimental dan bukti komputer sebagai barang menjijikkan, alih-alih inovasi, punya alasan khusus untuk merasa gembira dengan penaklukan teorema terakhir Fermat oleh Andrew J. Wiles dari Universitas Princeton. Prestasi Wiles merupakan kemenangan tradisi, melawan semua arus matematika modern.

Wiles adalah penganut setia matematika demi matematika itu sendiri. “Tentu saja saya tak mau melihat matematika hanya menjadi pelayan penerapan, sebab matematika bukan bagian dari kepentingan penerapan itu sendiri,” katanya.

Soal yang dia pecahkan, pertama kali diajukan lebih dari 350 tahun lampau oleh polimatik Prancis Pierre de Fermat, adalah sebuah contoh agung teka-teki matematis murni. Fermat mengklaim menemukan bukti atas proposisi berikut: untuk persamaan XN + YN = ZN, tak ada solusi bilangan bulat untuk harga N lebih besar dari 2. Upaya matematikawan untuk menemukan bukti ini (yang tak pernah Fermat ungkap) membantu meletakkan fondasi teori bilangan modern, studi bilangan bulat, yang belakangan bermanfaat dalam kriptografi. Tapi teorema terakhir Fermat “kemungkinan besar tak memiliki penerapan [praktis],” kata Wiles.

Walaupun lembaga-lembaga pendanaan sudah mendorong matematikawan agar bekerjasama, baik dengan sesama matematikawan maupun dengan ilmuwan, Wiles bekerja nyaris dalam kesunyian selama tujuh tahun. Dia membagi ide-idenya dengan segelintir kolega saja menjelang akhir pencariannya.

Bukti milik Wiles pada dasarnya mempunyai bentuk deduktif klasik yang sama dengan teorema-teorema geometris Euclid. Ini tidak melibatkan komputasi, tapi mengklaim benar secara mutlak—bukan probabel. Wiles juga tidak mempergunakan komputer untuk menyajikan ide-ide secara grafik, atau melakukan kalkulasi, atau bahkan menulis makalah; seorang sekretaris mengetik tulisan tangannya.

Dia mengakui, menguji penaksiran dengan komputer mungkin saja bermanfaat. Pada 1970-an, uji-uji komputer mengindikasikan bahwa proposal tak masuk akal yang dijuluki “penaksiran Taniyama” boleh jadi benar. Pengujian tersebut memacu penelitian yang meletakkan fondasi untuk bukti Wiles sendiri.

Meski demikian, Wiles ragu apakah dirinya mau repot-repot mempelajari cara penyelidikan komputer. “Itu keterampilan terpisah,” jelasnya, “dan kalau Anda menginvestasikan waktu sebanyak itu untuk keterampilan terpisah, kemungkinan besar Anda akan terhanyut dari pekerjaan yang sebenarnya.”

Dia menolak kemungkinan terbatasnya jumlah fakta yang dapat diakses oleh bentuk-bentuk penyelidikan tradisional. “Saya sangat tidak setuju dengan pemikiran bahwa teorema-teorema bagus mulai habis,” katanya. “Saya rasa kita baru menggores permukaan.”

Gelembung dan Tortellini
Matematikawan yang mewakili gaya matematika baru adalah Jean E. Taylor dari Universitas Rutgers. “Ide bahwa Anda tak boleh memakai komputer akan semakin asing pada generasi mendatang,” katanya. Selama dua dekade Taylor menyelidiki permukaan minimal (minimal surface), yang melambangkan luas atau volume terkecil yang dibatasi oleh lengkungan atau permukaan. Barangkali permukaan minimal paling elegan dan sederhana yang dijumpai di alam adalah gelembung sabun dan selaput. Taylor selalu punya kecenderungan eksperimen. Di awal karirnya, dia menguji model-model permukaan minimal hasil tulisan tangannya sendiri dengan mencelupkan untai-untai kawat ke dalam bak air sabun.

Sekarang, dia lebih mungkin membuat model gelembung dengan program grafik komputer canggih. Dia juga sudah lulus dari gelembung sabun, dan naik ke kristal, yang patuh pada aturan lebih rumit untuk permukaan minimal. Bersama Frederick J. Almgren dari Princeton dan Robert F. Almgren dari Universitas Chicago (suami dan anak tirinya) dan Andrew R. Roosen dari National Institute of Standards and Technology, Taylor sedang berusaha meniru pertumbuhan kepingan salju dan kristal-kristal lain pada komputer. Dia semakin sering berkolaborasi dengan ilmuwan dan fisikawan penting, membarter ide matematika dan teknik pemrograman demi mendapat petunjuk bagaimana kristal riil tumbuh.

Matematikawan lain yang mencari permukaan minimal baru di ruang siber adalah David A. Hoffman dari Universitas Massachusetts di Amherst. Di antara buruan favoritnya adalah katenoid dan helisoid, yang menyerupai pasta tortellini dan pertama kali ditemukan di abad 18. “Kita memperoleh banyak intuisi dengan mengamati citra-citra permukaan ini dalam komputer,” katanya.

Pada 1992, Hoffman, Fusheng Wei dari Amherst, dan Hermann Karcher dari Universitas Bonn berspekulasi tentang eksistensi helisoid golongan baru, helisoid bergagang. Mereka berhasil merepresentasikan helisoid-helisoid ini—yang pertama kalinya ditemukan sejak abad 18—pada komputer lalu membuat bukti formal eksistensinya. “Seandainya kami tak mampu melihat gambaran yang kurang-lebih ekuivalen dengan apa yang kami yakini, kami takkan bisa melakukannya,” kata Hoffman.

Helisoid berlubang ditemukan tahun lalu oleh David A. Hoffman dari Universitas Massachusetts di Amherts bersama koleganya, dengan bantuan grafik komputer.
Helisoid berlubang ditemukan tahun lalu oleh David A. Hoffman dari Universitas Massachusetts di Amherts bersama koleganya, dengan bantuan grafik komputer.

Bidang matematika eksperimental yang sama-sama mendapat perhatian terbesar selama dekade terakhir adalah dinamika non-linier atau, lebih populernya, kebalauan (chaos). Secara umum, sistem-sistem non-linier diatur oleh seperangkat aturan sederhana yang, melalui umpan-balik dan efek-efek terkait, melahirkan fenomena rumit. Sistem non-linier diselidiki di masa pra-komputer, tapi komputer memungkinkan matematikawan menjelajahi sistem ini dan mengamatinya berevolusi. Hal ini tidak dirasakan Henri Poincaré dan para perintis lain di cabang matematika ini.

Otomaton sel (cellular automaton), yang membagi-bagi layar komputer menjadi serangkaian sel (ekuivalen dengan piksel), menyediakan ilustrasi dramatis prinsip-prinsip kenonlinieran. Secara umum, warna, atau “status”, tiap sel ditentukan oleh status tetangga-tetangganya. Perubahan status sebuah sel memicu rentetan perubahan ke seluruh sistem.

Salah satu otomaton sel yang paling terkenal ditemukan oleh John H. Conway dari Princeton di awal 1970-an. Conway membuktikan bahwa otomaton miliknya, yang dia namai “Life”, “tidak bisa ditentukan”: kita tak bisa menentukan apakah pola-polanya beraneka ragam tanpa akhir ataukah pada akhirnya berulang. Para ilmuwan menggunakan otomaton sel sebagai alat untuk mempelajari awal-mula dan evolusi kehidupan. Ilmuwan komputer dan fisikawan Edward Fredkin dari Universitas Boston bahkan berargumen bahwa keseluruhan alam semesta adalah otomaton sel.

Yang lebih terkenal lagi adalah himpunan Mandelbrot, yang citranya telah menjadi ikon untuk seluruh bidang kebalauan sejak dipopulerkan di awal 1980-an oleh Benoit B. Mandelbrot dari Thomas J. Watson Research Center di IBM. Himpunan ini berasal dari persamaan sederhana yang berisi sebuah suku kompleks (berdasarkan akar kuadrat bilangan negatif). Persamaannya mengeluarkan solusi-solusi, yang kemudian diulang, atau diumpan balik, ke dalam persamaan.

Matematika yang mendasari himpunan ini ditemukan lebih dari 70 tahun silam oleh dua orang Prancis, Gaston Julia dan Pierre Fatou, tapi komputer menelanjangi keindahan seni mereka untuk dilihat semua orang. Saat dibuat grafiknya pada komputer, himpunan Mandelbroth berpadu membentuk citra yang disamakan dengan jantung bertumor, ayam terbakar parah, dan orang-orangan salju berkutil. Citra ini merupakan fraktal: batas-batas kaburnya sangat panjang tak terhingga, dan ia menampilkan pola-pola yang berulang pada skala berlainan.

Para periset sedang mempelajari himpunan-himpunan yang serupa dengan himpunan Mandelbrot tapi menghuni empat dimensi. “Jenis-jenis rintangan yang Anda jumpai di sini adalah jenis yang biasa ditemukan dalam banyak sains berbeda,” kata John Milnor dari State University of New York di Stony Brook. Milnor tengah berusaha memahami atribut himpunan empat-dimensi dengan memeriksa irisan-irisan dua-dimensinya yang dihasilkan oleh komputer. Temuan-temuan pendahuluannya mendorong penerbitan perdana Experimental Mathematics tahun lalu. Milnor, peraih Fields Medal tahun 1962, mengakui terkadang dirinya melakukan eksperimen komputer di masa-masa kartu pons, tapi “itu proses yang menyengsarakan. Kini jauh lebih mudah.”

Popularitas matematika berorientasi grafik telah memimbulkan serangan balik. Krantz dari Universitas Washington menuduh di dalam Mathematical Intelligencer empat tahun silam bahwa “di beberapa kalangan, dana pembelian perangkat keras untuk menghasilkan gambar-gambar fraktal lebih mudah didapat dibanding dana untuk mempelajari geometri aljabar.”

Peringatan lebih luas soal matematika “spekulatif” disuarakan Juli lalu dalam Bulletin of the American Mathematical Society oleh Arthur Jaffe dari Harvard dan Frank S. Quinn dari Virginia Polytechnic Institute. Mereka menyatakan eksperimen-eksperimen komputer dan persesuaian dengan fenomena alam bukanlah pengganti bukti dalam menegakkan kebenaran. “Kelompok-kelompok dan individu-individu dalam komunitas matematika semakin lembek menyangkut detil argumen,” tulis Jaffe dan Quinn. “Hasilnya campur-aduk, dan terkadang mendatangkan malapetaka.”

Kebanyakan matematikawan yang mengeksploitasi grafik komputer dan teknik eksperimen lain sependapat bahwa melihat tidak mesti mempercayai, dan bahwa bukti masih diperlukan untuk memverifikasi penaksiran yang mereka peroleh dari komputasi. “Saya rasa matematikawan merenungkan pusar mereka terlalu lama, tapi bukan berarti saya menganggap bukti sudah tidak relevan,” kata Taylor. Hoffman menyodorkan pembelaan yang lebih kuat lagi terhadap bukti tradisional. “Bukti merupakan satu-satunya instrumen laboratorium yang dimiliki matematikawan,” ucapnya, “dan terancam dibuang.” Walaupun grafik komputer “bukan main bagusnya”, tambahnya, “pada 1960-an, obat-obatan bukan main bagusnya, tapi sebagian orang tetap saja tidak selamat.”

Sebetulnya para penggemar komputer kawakan lebih tahu bahwa eksperimen komputasi—entah melibatkan grafik atau kalkulasi numeris—bisa mengecoh. Ada satu kisah peringatan dari hipotesis Riemann, sebuah prediksi terkenal tentang pola-pola yang ditampilkan oleh bilangan-bilangan prima yang berbaris menuju ketakterhinggaan. Pertama kali diutarakan lebih dari seratus tahun lampau oleh Bernhard Riemann, hipotesis ini dianggap sebagai salah satu soal terpenting yang belum dipecahkan dalam matematika.

Rekan sezaman Riemann, Franz Merten, mengajukan penaksiran terkait bilangan bulat positif; jika benar, penaksiran ini akan menyediakan bukti kuat bahwa hipotesis Riemann juga benar. Menjelang awal 1980-an, komputer menunjukkan bahwa proposal Merten memang berlaku untuk sekurangnya 10 miliar bilangan bulat pertama. Namun pada 1984, komputasi yang lebih luas mengungkap bahwa akhirnya—pada bilangan sampai setinggi 10(1070)—pola yang diprediksi oleh Mertens ternyata menghilang.

Kekurangan potensial dari komputer adalah bahwa kalkulasinya didasarkan pada manipulasi bilangan bulat diskret—satu dan nol. Komputer hanya mampu mengira-ngira bilangan riil, seperti pi atau akar kuadrat dua. Orang yang paham fungsi pembulatan kalkulator saku sederhana bisa dengan mudah merekayasanya agar menghasilkan jawaban kalkulasi yang tidak benar. Program-program yang lebih canggih dapat menghasilkan galat (error) yang lebih rumit dan sukar dipahami. Pada 1991, David R. Stoutemyer, spesialis piranti lunak di Universitas Hawaii, menyampaikan 18 eksperimen aljabar yang memberi jawaban keliru ketika dikerjakan dengan piranti lunak matematika standar.

Stephen Smale dari Universitas California di Berkeley, peraih Fields Medal 1966, berupaya menempatkan komputasi matematika di atas fondasi yang lebih aman—atau setidaknya menguraikan ukuran dan lokasi retakan pada fondasinya. Bersama Lenore Blum dari Mathematical Sciences Research Institute di Berkeley dan Michael Shub dari IBM, dia menciptakan model teoritis sebuah komputer yang mampu memproses bilangan riil ketimbang sekadar bilangan bulat.

Blum dan Smale belakangan menyimpulkan, himpunan Mandelbrot, dalam pengertian teknis, tak dapat dikomputasi. Dengan kata lain, kita tak dapat menentukan dengan pasti apakah suatu titik pada bidang kompleks berada di dalam atau di luar perbatasan berbulu himpunan tersebut. Temuan ini mengindikasikan bahwa “Anda harus hati-hati” dalam memperhitungkan hasil-hasil eksperimen komputer, kata Smale.

Kecemasan ini ditepis oleh Stephen Wolfram, fisikawan matematika di Universitas Illinois. Wolfram adalah kreator Matematica, piranti lunak matematika terkemuka sejak pertama kali dipasarkan lima tahun silam. Dia mengaku “memang ada perangkap dalam matematika eksperimental. Seperti halnya semua jenis eksperimen, Anda bisa salah memperlakukannya.” Tapi dia menegaskan, eksperimen komputasi yang dilakukan dan dianalisa secara cerdas bisa membuahkan lebih banyak hasil daripada metode penaksiran-pembuktian kuno. “Di setiap bidang sains lain, pelaku eksperimen jauh lebih banyak daripada ahli teori,” kata Wolfram. “Saya menduga matematika pun akan semakin demikian.”

“Obsesi terhadap bukti,” kata Wolfram, telah mencegah matematikawan menemukan alam-alam fenomena baru yang dapat dijangkau dengan komputer. Bahkan pelaku eksperimen matematika yang paling berani “belum beranjak cukup jauh”, katanya. “Mereka mengambil pertanyaan yang ada dalam matematika lalu menyelidikinya. Mereka menambahkan beberapa hiasan kecil di atas struktur raksasa.”

Mungkin matematikawan tidak menerima pandangan ini sepenuhnya. Walaupun sama-sama kagum dengan otomaton sel sebagaimana halnya Wolfram, Conway berpendapat bahwa karir Wolfram—serta kejijikannya terhadap bukti—menunjukkan dia bukan matematikawan sejati. “Matematikawan murni biasanya tidak mempunyai rekan, mereka menghadapi dunia secara agresif,” kata kreator Life ini. “Kami duduk di menara gading dan memikirkan banyak hal.”

Pemegang teguh kemurnian memang mengalami masa-masa sulit untuk mengesampingkan William P. Thurston, yang juga penyokong matematika eksperimental dan komputer matematika. Thurston, yang mengepalai Mathematical Sciences Research Institute di Berkeley dan salah satu direktur Geometry Center (bersama Albert Marden dari Universitas Minnesota), mempunyai referensi tanpa cela. Pada pertengahan 1970-an dia menunjukkan pertalian potensial mendalam antara dua cabang matematika yang terpisah—topologi dan geometri. Thurston memenangkan Fields Medal atas penelitian ini di tahun 1982.

Thurston menegaskan, dirinya percaya bahwa kebenaran matematika ditemukan, bukan dibuat. Tapi berkenaan dengan bukti, dia tidak seperti murid Plato, justru lebih mirip murid Thomas S. Kuhn, filsuf yang berargumen dalam bukunya di tahun 1962, The Structure of Scientific Revolution, bahwa teori-teori ilmiah diterima atas alasan sosial ketimbang “benar” secara objektif. “Bahwa matematika secara prinsip tereduksi menjadi bukti-bukti formal, ini merupakan ide goyah” khas abad ini, kata Thurston. “Secara praktek, matematikawan membuktikan teorema dalam konteks sosial,” katanya. “Ia adalah kumpulan pengetahuan dan teknik yang terkondisikan secara sosial.”

Ahli logika Kurt Gödel mendemonstrasikan lebih dari 60 tahun silam melalui teorema ketidaklengkapan miliknya bahwa “mengkodifikasi matematika adalah mustahil,” catat Thurston. Perangkat aksioma apapun akan menghasilkan pernyataan yang terbukti benar dengan sendirinya tapi tak dapat didemonstrasikan dengan aksioma tersebut. Bertrand Russel bahkan menunjukkan lebih awal bahwa teori himpunan, yang menjadi dasar sebagian besar matematika, dipenuhi dengan kontradiksi logis terkait masalah perujukan diri (self-reference). (Pernyataan swa-kontradiktif seperti “Kalimat ini salah” mengilustrasikan adanya masalah.) “Teori himpunan didasarkan pada kebohongan santun, hal-hal yang kita sepakati meski kita tahu semua itu tidak benar,” kata Thurston. “Dalam beberapa hal, fondasi matematika terkesan tidak riil.”

Thurston berpikir, bukti-bukti formal lebih mungkin untuk bercacat daripada bukti-bukti yang lebih intuitif. Dia terutama terpikat oleh kemampuan grafik komputer dalam menyampaikan konsep-konsep matematika abstrak kepada orang lain baik di dalam maupun di luar komunitas profesional. Dua tahun lalu, atas desakannya, Geometry Center memproduksi “bukti video” hasil komputer, berjudul Not Knot, yang mendramatisasi penaksiran inovatif yang dibuktikannya satu dekade lalu. Dengan bangga Thurston menyebutkan bahwa band cadas Grateful Dead turut menampilkan video Not Knot di konsernya.

Apakah Deadheads mengerti substansi videonya—tentang bagaimana objek-objek matematis bernama manifold-tiga berperilaku di ruang “hiperbolik” non-Euclidean—itu urusan lain. Thurston mengakui video ini sulit dimengerti oleh non-matematikawan, dan bahkan oleh sebagian profesional, tapi dia tak gentar. Geometry Center kini sedang memproduksi video berisi teorema lain milik Thurston, yang mendemonstrasikan bagaimana bola dapat dibalik sebelah dalamnya keluar. Lebih jauh, musim gugur lalu, Thurston mengadakan lokakarya di mana peserta mendiskusikan bagaimana realitas virtual dan teknologi maju lainnya dapat diadaptasi untuk visualisasi matematis.

Paradoksnya, komputer justru mengkatalisasi tren tandingan di mana kebenaran diperoleh dengan mengorbankan comprehensibility (kedimengertian). Pada 1976, Kenneth Appel dan Wolfgang Haken dari Universitas Illinois mengklaim sudah membuktikan penaksiran empat warna, yang menyatakan bahwa empat corak cukup untuk mengkonstruksi peta luas tak terhingga sehingga tak ada negara-negara berwarna identik berbagi perbatasan. Dalam beberapa hal, bukti milik Appel dan Haken tergolong konvensional—yakni, terdiri dari serangkaian langkah logis dan dapat dilacak yang berlanjut ke kesimpulan. Kesimpulannya adalah, penaksiran ini dapat direduksi menjadi prediksi tentang perilaku 2.000-an peta berbeda.

Karena mengecek prediksi ini dengan tangan akan memakan banyak waktu, Appel dan Haken memprogram komputer untuk melakukan pekerjaan mereka. Sekitar 1.000 jam komputasi kemudian, mesin menyimpulkan 2.000 peta berperilaku sesuai perkiraan: penaksiran empat warna memang benar.

Persoalan Pesta
Bukti-bukti lain hasil bantuan komputer ikut menyusul. Baru tahun ini, sebuah bukti atas persoalan pesta (party problem) diumumkan oleh Stanislaw P. Radziszowski dari Rochester Institute of Technology dan Brendan D. McKay dari Australian National University di Canberra. Persoalan ini, yang berakar dari penelitian teori himpunan oleh matematikawan Inggris Frank P. Ramsey di tahun 1920-an, boleh disebut sebagai pertanyaan terhadap relasi antara orang-orang di sebuah pesta. Berapa bilangan minimum tamu yang harus diundang untuk menjamin bahwa orang-orang sekurangnya X saling mengenal atau orang-orang sekurangnya Y tidak saling mengenal? Bilangan ini dikenal sebagai bilangan Ramsey.

Bukti-bukti terdahulu menunjukkan, perlu 18 tamu untuk memastikan ada empat orang kenalan atau empat orang asing. Dalam bukti yang diajukan, Radziszowski dan McKay memperlihatkan bahwa bilangan Ramsey untuk empat orang teman atau lima orang asing adalah 25. Kalangan sosialita mungkin akan berpikir dua kali jika ingin mengkalkulasi bilangan Ramsey untuk X dan Y yang lebih besar. Radziszowski dan McKay memperkirakan bukti milik mereka menghabiskan setara 11 tahun komputasi menurut mesin desktop standar. Mungkin ini rekor, kata Radziszowski, untuk persoalan dalam matematika murni.

Persoalan Pesta dipecahkan oleh Stanislaw P. Radziszowski dan Brendan D. McKay setelah melewati banyak komputasi. Mereka mengkalkulasi, perlu sekurangnya 25 orang untuk memastikan empat orang saling mengenal atau lima orang tidak saling mengenal. Diagram ini, di mana garis-garis merah menghubungkan teman dan dan garis-garis kuning menghubungkan orang asing, menunjukkan bahwa pesta 24 orang melanggar diktum.
Persoalan Pesta dipecahkan oleh Stanislaw P. Radziszowski dan Brendan D. McKay setelah melewati banyak komputasi. Mereka mengkalkulasi, perlu sekurangnya 25 orang untuk memastikan empat orang saling mengenal atau lima orang tidak saling mengenal. Diagram ini, di mana garis-garis merah menghubungkan teman dan dan garis-garis kuning menghubungkan orang asing, menunjukkan bahwa pesta 24 orang melanggar diktum.

Nilai penelitian ini diperdebatkan dalam forum yang tak wajar—kolom pemberi nasehat Ann Landers. Juni lalu, seorang koresponden mengeluh kepada Landers bahwa sumberdaya yang dibelanjakan untuk persoalan pesta seyogyanya dipakai membantu “anak-anak kelaparan di negara-negara terkoyak perang di seluruh dunia.” Sebagian matematikawan mengangkat satu keberatan lain terhadap bukti-bukti hasil bantuan komputer. “Saya tak percaya pada bukti yang dikerjakan komputer,” kata Pierre Deligne dari Institute for Advanced Study, seorang ahli geometri aljabar dan peraih Fields Medal 1978. “Agaknya, saya sangat egosentris. Saya percaya pada sebuah bukti jika saya memahaminya, jika ia jelas.” Seraya mengakui bahwa manusia bisa berbuat keliru, dia menambahkan: “Komputer juga bisa keliru, tapi kekeliruannya jauh lebih sulit ditemukan.”

Yang lain mengambil sudut pandang lebih fungsional. Mereka berargumen, menegakkan kebenaran lebih penting daripada menganugerahkan pancaran estetis pada matematikawan, terutama jika sebuah temuan mendapat wadah penerapan. Para pembela pendekatan ini, yang kebanyakan ilmuwan komputer, menguraikan bahwa bukti-bukti konvensional sama sekali tidak kebal terhadap galat. Pada peralihan abad, sebagian besar teorema cukup pendek untuk dibaca dengan sekali duduk dan dibuat oleh satu pengarang. Kini bukti-bukti kerapkali memanjang sampai ratusan halaman atau lebih dan, saking kompleksnya, perlu waktu bertahun-tahun sebelum mereka dikonfirmasi oleh yang lain.

Pemegang rekor mutakhir di antara semua bukti konvensional dirampungkan di awal 1980-an dan dinamai sebagai klasifikasi kelompok-kelompok sederhana terhingga. (Kelompok adalah sehimpunan elemen, misalnya bilangan bulat, disertai satu operasi, misalnya penjumlahan, yang mengkombinasikan dua elemen untuk mendapat elemen ketiga.) Demonstrasinya terdiri dari sekitar 500 artikel dengan total hampir 15.000 halaman dan ditulis oleh lebih dari 100 pekerja. Konon, satu-satunya orang yang mengerti keseluruhan bukti ini adalah kontraktor umumnya, Daniel Gorenstein dari Rutgers. Gorenstein wafat tahun lalu.

Matematikawan Silikon

Penetrasi komputer yang kontinyu ke dalam matematika telah membangkitkan perdebatan tua: Bisakah matematika diotomatisasi sepenuhnya? Akankah matematikawan besar abad mendatang terbuat dari silikon?

Nyatanya, selama berdekade-dekade para ilmuwan komputer telah mengerjakan program-program yang menghasilkan penaksiran dan bukti matematis. Di akhir 1950-an, gurunya kecerdasan buatan, Marvin Minsky, memperlihatkan bagaimana komputer dapat “menemukan ulang” sebagian teorema dasar geometri milik Euclid. Pada 1970-an, Douglas Lenat, bekas murid Minsky, mempresentasikan program yang menemukan teorema-teorema geometri yang lebih maju lagi. Kaum skeptis berpendapat bahwa temuan-temuan ini, praktisnya, terlekat dalam program aslinya.

Satu dekade lalu, ilmuwan komputer dan pengusaha Edward Fredkin berupaya membangkitkan minat terhadap matematika mesin yang sedang merosot dengan mengadakan apa yang kemudian dikenal sebagai Leibniz Prize. Penghargaan ini, diberikan oleh Carnegie Mellon University, menawarkan $100.000 bagi program komputer pertama yang menemukan teorema “berefek mendalam” terhadap matematika.

Beberapa praktisi penalaran terotomatisasi mengaku siap mengambil hadiah tersebut. Salah satunya adalah Larry Wos dari Argonne National Laboratory, editor Journal of Automated Reasoning. Dia menyatakan telah mengembangkan sebuah program yang memecahkan soal-soal matematika dan logika yang membingungkan manusia selama bertahun-tahun.” Yang lain adalah Siemeon Fajtlowicz dari Universitas Houston, penemu program bernama Graffiti yang menawarkan “ribuan” penaksiran dalam teori grafik.

Tak satupun dari pencapaian ini yang hampir memenuhi kriteria “berefek mendalam”, menurut David Mumford dari Universitas Harvard, juri penghargaan bersangkutan. “Tidak sekarang, tidak pula seratus tahun dari sekarang,” jawab Mumford saat diminta memprediksi kapan kemungkinannya hadiah itu diambil.

Beberapa pengamat berpikir, pada akhirnya komputer akan melampaui kemampuan matematis kita. Biar bagaimanapun, catat Ronald L. Graham dari AT&T Bell Laboratories, “kita tidak terbiasa memikirkan malaran ruang-waktu atau hipotesis Riemann. Kita dirancang untuk memetik béri atau menghindari pemangsa.

Lain halnya dengan fisikawan matematika Roger Penrose dari Universitas Oxford, yang dalam bukunya tahun 1989, The Emperor’s New Mind, menegaskan bahwa komputer takkan bisa menggantikan matematikawan. Argumen Penrose mengandalkan teori quantum dan teorema ketidaklengkapan milik Gödel, tapi dia sangat meyakinkan ketika membahas pengalaman pribadinya. Dalam posisi terbaiknya, dia bilang, matematika adalah seni, aksi kreatif, yang tak dapat direduksi menjadi logika, tidak seperti King Lear atau Fifth karya Beethoven.

Bukti-bukti yang jauh lebih pendek juga dapat menimbulkan keraguan. Tiga tahun silam, Wu-Yi Hsiang dari Berkeley mengumumkan telah membuktikan sebuah penaksiran tua bahwa kita dapat menjejalkan banyak bola dalam volume tertentu dengan menumpuknya seperti peluru meriam. Hari ini sebagian kaum skeptis merasa yakin, bukti setebal 100 halaman tersebut mengandung cacat; yang lain sama-sama yakin bukti tersebut pada dasarnya tepat.

Sebetulnya, kunci perbaikan keandalan, menurut sebagian ilmuwan komputer, bukanlah pengurangan komputerisasi tapi justru peningkatan. Robert S. Boyer dari Universitas Texas di Austin memimpin upaya untuk memeras seluruh koleksi tulisan matematika modern ke dalam basis data tunggal yang konsistensinya bisa diverifikasi melalui “pengecek bukti” terotomatisasi.

Manifesto QED Project ini menyatakan bahwa basis data akan memungkinkan pengguna “memindai keseluruhan pengetahuan matematika untuk mencari hasil-hasil relevan dan, dengan memakai alat-alat dalam sistem QED, mengandalkan hasil tersebut dengan percaya dan yakin tanpa perlu memahami seluk-beluknya atau bahkan fondasinya dengan seksama.” Sistem QED, kata manifesto ini agak sombong, bahkan mampu “menyediakan suatu penangkal untuk efek-efek degeneratif relativisme dan nihilisme kultural” dan, kiranya, melindungi matematika dari kemauan manusiawi untuk mengalah pada perkembangan populer.

Perdebatan seputar bukti komputer kian memanas belakangan ini dengan datangnya teknik yang tidak menawarkan kepastian, tapi cuma probabilitas statistik kebenaran. Bukti seperti ini mengeksploitasi metode yang serupa dengan metode-metode di balik kode koreksi galat (error-correction code), yang memastikan agar pesan-pesan transmisi tidak kalah oleh derau dan efek lain dengan menjadikannya amat redundan. Bukti harus terlebih dahulu diuraikan dalam bentuk logika matematika yang teliti. Kemudian logika ini menjalani transformasi lanjutan yang disebut aritmetisasi, di mana “and”, “or”, dan fungsi-fungsi lain diterjemahkan ke dalam operasi aritmetik, misalnya penjumlahan dan perkalian.

Seperti pesan yang dialihragam oleh kode koreksi galat, “jawaban” demonstrasi probabilistik didistribusikan ke seluruh panjangnya—sebagaimana galat pada umumnya. Kita mengecek bukti dengan menyelidikinya di titik-titik berlainan dan menetapkan apakah jawaban-jawabannya konsisten. Dengan meningkatnya jumlah pengecekan, meningkat pula kepastian bahwa argumennya benar. Laszlo Babai dari Universitas Chicago, yang mengembangkan bukti ini dua tahun silam (bersama Lance Fortnow, Carsten Lund, dan Mario Szegedy dari Chicago dan Leonid A. Levin dari Unversitas Boston), menyebutnya “transparan”. Manuel Blum dari Berkeley, yang penelitiannya membantu melapangkan jalan bagi kelompok Babai, mengusulkan istilah “holografis”.

Masa Depan Tak Pasti
Apapun namanya, bukti-bukti semacam ini memiliki kekurangan praktis. Szegedy mengakui pengalihragaman demonstrasi konvensional ke dalam bentuk probabilistik sangatlah sulit, dan hasilnya boleh jadi “jauh lebih besar dan lebih jelek”. Bukti sepanjang 1.000 baris, misalnya, bisa dengan mudah membengkak menjadi 1.0003 (1.000.000.000) baris. Tapi Szegedy berpendapat, jika dia dan koleganya dapat menyederhanakan proses alihragam, bukti-bukti probabilistik mungkin akan menjadi metode berguna untuk memverifikasi proposisi matematis dan komputasi besar—contohnya [proposisi dan komputasi] yang membawa pada teorema empat warna. “Ongkos filosofis metode efisien ini adalah kita kehilangan kepastian bukti Euclidean yang mutlak,” catat Babai dalam sebuah esai baru-baru ini. “Tapi jika Anda memang ragu, maukah bertaruh dengan saya?”

Pertaruhan seperti ini keliru, menurut Levin, karena beberapa pengecekan bisa membuat peluang galat jadi semakin kecil: satu dibagi jumlah partikel di alam semesta. Bahkan bukti konvensional yang paling blak-blakan, urai Levin, rawan terhadap kesangsian setingkat ini. “Begitu Anda menemukan galat, otak Anda mungkin menghilang gara-gara prinsip ketidakpastian Heisenberg dan digantikan oleh otak baru yang berpikir bukti tersebut benar,” katanya.

Ronald L. Graham dari AT&T Bell Laboratories menyatakan, kecenderungan untuk menjauhi bukti-bukti konvensional, ringkas, jelas, dan masuk akal, memang tak dapat dihindari. “Hal-hal yang dapat Anda buktikan barangkali hanyalah pulau kecil, hanyalah pengecualian, dibanding lautan hasil amat luas yang tak dapat dibuktikan oleh pikiran manusia belaka,” jelasnya. Matematikawan yang berusaha melayari perairan tak terpetakan akan semakin bergantung pada eksperimen, bukti probabilistik, dan pedoman lainnya. “Anda tak mungkin mampu menyediakan bukti dalam pengertian klasik,” kata Graham.

Tentu saja, matematika semakin kurang memberi kepuasan estetis seiring kian bergantungnya peneliti pada komputer. “Akan sangat menyurutkan semangat,” ujar Graham, “jika di suatu tempat dalam prosesnya Anda bisa bertanya kepada komputer apakah hipotesis Riemann benar, dan lantas mendapat jawaban, ‘Ya, benar, tapi kau takkan sanggup memahami buktinya.’”

Kaum tradisionalis pasti merinding dengan pemikiran ini. Setidaknya untuk sementara mereka dapat bersatu mendukung para pahlawan semisal Wiles—sang penakluk teorema terakhir Fermat—yang menghindari komputer, penerapan, dan barang-barang jijik lain. Tapi jumlah Wiles di masa mendatang mungkin akan semakin sedikit jika laporan-laporan dari bidang pendidikan pra-perguruan tinggi menjadi buku pedoman. Mathematical Sciences Research Institute di Berkeley, yang dipimpin oleh Thurston, terus-menerus mengadakan serangkaian seminar bersama para guru SMU guna menemukan cara baru untuk memikat siswa ke dalam matematika. Januari lalu, Lenore Blum, deputi direktur institut tersebut, mengadakan seminar yang dicurahkan untuk pertanyaan “Apakah Bukti-bukti dalam Pelajaran Geometri SMU Sudah Usang?”

Matematikawan bersikukuh, bukti sangat krusial dalam memastikan benar tidaknya sebuah temuan. Guru SMU berkeberatan. Mereka mengungkap, siswa tak lagi menganggap bukti tradisional aksiomatis sama meyakinkannya dengan argumen visual. “Mayoritas guru SMU menyatakan sebagian besar siswa sekarang (generasi Nintendo/joystick/MTV) tidak merujuk pada atau memandang pentingnya ‘bukti’,” demikian bunyi notulen pertemuan. Perhatikan tanda kutip di depan dan belakang kata “bukti”.

Penulis
John Horgan adalah penulis senior.

Bacaan Lebih Lanjut

  • Islands of Truth: A Mathematical Mystery Cruise. Ivars Peterson. W.H. Freeman and Company, 1990.
  • The Problem of Mathematics. Ian Stewart. Oxford University Press, 1992.
  • Pi in the Sky: Counting, Thinking, and Being. John D. Barrow. Oxford University Press, 1992.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s