Seperempat Abad Matematika Rekreasional

Oleh: Martin Gardner
Ilustrasi oleh: Ian Worpole
(Sumber: Mathematical American, Desember 2003, hal. 2-9)

Penulis kolom “Mathematical Games” di Scientific American sejak 1956 sampai 1981 menceritakan 25 tahun teka-teki menghibur dan penemuan serius.

“Hiburan termasuk bidang matematika terapan.”
William F. White, A Scrapbook of Elementary Mathematics

Saya memulai kolom “Mathematical Games” dalam Scientific American edisi Desember 1956 dengan sebuah artikel tentang heksafleksagon. Struktur mengherankan ini, dihasilkan dengan melipat kertas biasa menjadi heksagon lalu merekatkan ujung-ujungnya, dapat dibalik sebelah dalamnya keluar secara berulangkali, sehingga menyingkap muka-muka tersembunyi. Struktur ini ditemukan pada 1939 oleh sekelompok mahasiswa sarjana Universitas Princeton. Heksafleksagon sangat asyik dimainkan, tapi yang lebih penting, ia memperlihatkan mata rantai antara teka-teki rekreasional dan matematika “serius”: salah satu penemunya adalah Richard Feynman, yang kemudian tergolong fisikawan teoritis paling masyhur di abad ini.

Pada waktu saya mengawali kolom tersebut, belum banyak buku-buku matematika rekreasional yang dicetak. Judul klasik di genre ini—Mathematical Recreations and Essays, ditulis oleh matematikawan ulung asal Inggris, W.W. Rouse Ball pada 1892—tersedia dalam versi yang diperbarui oleh sosok legendaris lain, ahli geometri Kanada, H.S.M. Coxeter. Dover Publications menerbitkan terjemahan dari buku berbahasa Prancis, La Mathématique des Jeux (Mathematical Recreations), karya teoris bilangan asal Belgia Maurice Kraitchik. Tapi di samping segelintir koleksi teka-teki lain, tak ada lagi yang bisa diceritakan.

Sejak saat itu, terjadilah ledakan buku-buku bertema ini, banyak ditulis oleh matematikawan terkemuka. Para penulis tersebut mencakup Ian Stewart, yang kini menulis kolom “Mathematical Recreations” di Scientific American; John H. Conway dari Universitas Princeton; Richard K. Guy dari Universitas Calgary; dan Elwyn R. Berlekamp dari Universitas California di Berkeley. Artikel-artikel matematika rekreasional juga bermunculan dengan frekuensi terus meningkat dalam majalah-majalah matematika. Triwulanan Journal of Recreational Mathematics mulai terbit di tahun 1968.

Batas antara matematika menghibur dan matematika serius menjadi kabur. Banyak matematikawan profesional menganggap penelitian mereka sebagai bentuk permainan, seperti halnya para pegolf profesional atau bintang basket. Secara umum, matematika dianggap rekreasional jika memiliki aspek bermain yang dapat dipahami dan diapresiasi oleh non-matematikawan. Matematika rekreasional meliputi masalah-masalah dasar terkait solusi elegan, dan kerapkali mengagetkan. Ia juga mencakup paradoks-paradoks mengherankan, permainan cerdik, trik sulap membingungkan, dan topologi aneh semisal pita Möbius dan botol Klein. Bahkan, nyaris setiap cabang matematika yang lebih sederhana dari kalkulus boleh dibilang mempunyai bidang-bidang rekreasional. (Beberapa contoh menghibur diperlihatkan di halaman berikutnya.)

Tebak-tebakan Angka di Ruang Kelas
Majalah bulanan yang diterbitkan oleh National Council of Teachers of Mathematics, Mathematics Teachers, sering memuat artikel tentang topik-topik rekreasional. Namun kebanyakan guru terus mengesampingkan bahan seperti ini. Selama 40 tahun, saya berusaha sebaik mungkin untuk meyakinkan para pendidik agar memasukkan matematika rekreasional ke dalam kurikulum standar. Ia semestinya diperkenalkan secara teratur sebagai cara menarik minat siswa muda terhadap keajaiban matematika. Tapi sampai sekarang gerakan ke arah ini lamban.

Saya sering menyampaikan cerita dari masa-masa SMU dulu yang mengilustrasikan dilema ini. Suatu hari, saat pelajaran matematika, setelah menyelesaikan tugas reguler, saya mengeluarkan selembar kertas baru dan mencoba memecahkan soal yang membangkitkan rasa penasaran: apakah pemain pertama dalam permainan tebak angka bisa selalu menang, dengan strategi yang tepat. Begitu melihat saya sedang menulis, guru merampas kertasnya dan berkata, “Tn. Gardner, kalau sedang dalam pelajaran saya, kerjakan saja matematika, bukan yang lain.”

Empat Teka-teki dari Martin Gardner
(Jawaban ada di bagian akhir)

Tebak Kartu

Matriks Bilangan

Rantai Kata

Kocok Kartu

Soal tebak angka adalah kegiatan kelas yang mengagumkan. Ini merupakan cara hebat untuk memperkenalkan matematika kombinatorial, teori permainan, kesimetrian, dan probabilitas kepada siswa. Terlebih, permainan ini menjadi bagian dari pengalaman setiap siswa: siapa yang belum pernah main tebak angka di waktu kecil? Tapi saya kenal segelintir guru matematika yang memasukkan permainan seperti ini ke dalam pelajaran mereka.

Menurut buku tahunan 1997 keluaran dewan guru matematika, tren teranyar dalam pendidikan matematika dinamakan “matematika baru baru”, untuk membedakannya dari “matematika baru” yang gagal total beberapa dekade silam. Sistem ajaran terbaru membagi kelas ke dalam kelompok-kelompok kecil siswa dan menginstruksikan kelompok-kelompok ini untuk memecahkan soal melalui kerjasama argumentasi. “Pembelajaran interaktif”, demikian sebutannya, menggantikan ceramah pelajaran. Walaupun ada beberapa aspek positif dalam matematika baru baru, saya terpukul oleh fakta bahwa buku tahunan tersebut tidak berkata apa-apa tentang nilai-nilai matematika rekreasional, yang sangat membantu dalam kerjasama pemecahan soal.

Perkenankan saya mengemukakan eksperimen berikut kepada para guru. Mintalah setiap kelompok siswa untuk memikirkan suatu bilangan tiga digit—kita sebut saja ABC. Lalu minta para siswa memasukkan deret angka ini dua kali ke dalam kalkulator, sehingga membentuk bilangan ABCABC. Contoh, jika siswa memikirkan bilangan 237, maka mereka memasukkan bilangan 237.237. Beritahu siswa, Anda punya kemampuan psikis untuk memprediksi bahwa jika mereka membagi ABCABC dengan 13, tidak akan ada [angka] sisa. Ini akan terbukti benar. Kemudian minta mereka membagi hasil tersebut dengan 11. Lagi-lagi, tidak akan ada sisa. Terakhir, minta mereka membagi dengan 7. Jreeng! Bilangan awal ABC kini ada dalam bacaan kalkulator. Rahasia trik ini sederhana: ABCABC = ABC ≤ 1.001 = ABC ≤ 7 ≤ 11 ≤ 13. (Seperti semua bilangan bulat lain, 1.001 dapat difaktorkan menjadi himpunan unik bilangan prima.) Setahu saya tak ada pengenalan yang lebih baik terhadap teori bilangan dan atribut bilangan prima selain meminta siswa menjelaskan kenapa trik ini selalu berfungsi.

Poliomino dan Ubin Penrose
Salah satu kesenangan besar dari menulis kolom Scientific American selama 25 tahun adalah menjadi kenal dengan banyak matematikawan otentik. Saya sendiri cuma jurnalis yang mencintai matematika dan dapat menuliskannya dengan fasih. Saya tak mengambil mata kuliah matematika di kampus. Kolom-kolom saya semakin jelimet dengan semakin seringnya belajar, tapi kunci popularitas kolom ini adalah materi mempesona yang saya peroleh dari beberapa matematikawan terbaik dunia.

Solomon W. Golomb dari Universitas Southern California adalah salah seorang matematikawan pertama yang menjadi sumber untuk kolom saya. Di edisi Mei 1957, saya memperkenalkan studi poliomino beliau, bentuk-bentuk yang tercipta dengan menyambungkan persegi-persegi identik sepanjang tepi-tepi mereka. Domino—dibentuk dari dua persegi—hanya dapat memikul satu bentuk, sedangkan tromino, tetromino, dan pentomino dapat memangku beraneka bentuk: L, T, persegi, dan seterusnya. Salah satu soal pertama Gollomb adalah menetapkan apakah set poliomino tertentu, yang dicocokkan dengan pas, dapat meliputi seluruh papan dam tanpa melewatkan satu persegi pun. Studi poliomino segera berevolusi menjadi cabang matematika rekreasional yang tumbuh subur. Arthur C. Clarke, pengarang sains fiksi, mengaku “ketagihan pentomino” setelah mulai bermain-main dengan rajah (figure) sederhana yang mengecoh.

Golomb juga menarik perhatian saya pada segolongan rajah yang disebutnya “rep-tile”—poligon-poligon identik yang saling pas untuk membentuk replika mereka sendiri dalam ukuran lebih besar. Salah satu dari mereka adalah sphinx, sebuah pentagon tak beraturan yang bentuknya serupa dengan monumen Mesir kuno. Ketika empat sphinx identik disambungkan dengan benar, mereka membentuk sphinx lebih besar yang bentuknya sama dengan komponen-komponennya. Pola rep-tile dapat memanjang tak terhingga: mereka mengubin bidang dengan membuat replika yang semakin besar.

Rep-tile Ordo Rendah

Mendiang Piet Hein, penemu dan penyair masyhur Denmark, menjadi teman baik saya dengan kontribusinya untuk “Mathematical Games”. Di edisi Juli 1957, saya menulis tentang permainan topologi temuannya, disebut Hex, yang dimainkan di atas papan berbentuk wajik yang tersusun dari heksagon-heksagon. Para pemain menempatkan penanda di atas heksagon dan berusaha menjadi orang pertama yang melengkapi rantai tak terputus dari satu sisi papan ke sisi lainnya. Permainan ini kerap dijuluki sebagai John, lantaran bisa dimainkan di atas ubin heksagonal lantai kamar mandi.

Hein juga menemukan kubus Soma, yang menjadi tema beberapa kolom saya (September 1958, Juli 1969, dan September 1972). Kubus Soma terdiri dari tujuh polikubus berlainan, analogi tiga-dimensi poliomino. Mereka terbentuk dengan menyambung muka kubus-kubus identik. Polikubus-polikubus dapat dicocokkan untuk membentuk kubus Soma—dalam 240 cara, tidak kurang—serta sederet bentuk-bentuk Soma yang lengkap: piramida, bak mandi, anjing, dan sebagainya.

Polikubus

Bentuk Soma

Pada 1970, matematikawan John Conway—salah seorang jenius dunia yang tak perlu dipersoalkan lagi—datang menemui saya dan menanyakan apakah saya punya papan permainan kuno Oriental, yaitu go. Conway kemudian mendemonstrasikan permainan simulasinya yang kini terkenal, Life. Dia menempatkan beberapa counter (keping penghitung) di atas kisi papan, lalu membuang atau menambahkan keping penghitung baru berdasarkan tiga aturan sederhana: setiap keping penghitung yang memiliki dua atau tiga tetangga dibolehkan tetap di atas papan; setiap keping penghitung dengan satu atau tanpa tetangga, atau empat atau lebih tetangga, dibuang; dan satu keping penghitung baru ditambahkan pada setiap ruang kosong persis berdampingan dengan tiga keping penghitung. Dengan menerapkan aturan ini secara berulang, terciptalah beraneka bentuk yang mengherankan, termasuk [bentuk] yang bergerak di atas papan seperti serangga. Saya menguraikan Life di kolom Oktober 1970, dan sontak menjadi populer di kalangan penggemar komputer. Selama berminggu-minggu sesudahnya, banyak firma bisnis dan laboratorium riset hampir ditutup selagi penggemar Life bereksperimen dengan bentuk-bentuk Life di layar komputer mereka.

Dalam permainan Life, bentuk-bentuk berevolusi dengan mengikuti kaidah yang ditetapkan oleh matematikawan John H. Conway. Jika empat “organisme” disusun menjadi blok sel persegi (a), bentuk Life tidak berubah. Tiga pola awal lain (b, c, dan d) berevolusi menjadi bentuk “sarang lebah” yang stabil. Pola kelima (e) berevolusi menjadi rajah “lampu lalu-lintas” bolak-balik, yang bergantian di antara baris vertikal dan horizontal.
Dalam permainan Life, bentuk-bentuk berevolusi dengan mengikuti kaidah yang ditetapkan oleh matematikawan John H. Conway. Jika empat “organisme” disusun menjadi blok sel persegi (a), bentuk Life tidak berubah. Tiga pola awal lain (b, c, dan d) berevolusi menjadi bentuk “sarang lebah” yang stabil. Pola kelima (e) berevolusi menjadi rajah “lampu lalu-lintas” bolak-balik, yang bergantian di antara baris vertikal dan horizontal.

Conway kemudian berkolaborasi dengan sesama matematikawan, Richard Guy dan Elwyn Berlekamp, dalam kontribusi terhebat, menurut saya, terhadap matematika rekreasional abad ini: karya dua jilid berjudul Winning Ways (1982). Salah satu dari ratusan mutiaranya adalah permainan dua orang, disebut Phutball, yang dapat pula dimainkan di atas papan go. Phutball diposisikan di tengah-tengah papan, dan para pemain bergiliran menempatkan keping penghitung di titik pertemuan garis-garis kisi. Pemain bisa menggeser Phutball dengan melompatkannya ke atas keping-keping penghitung, yang dibuang dari papan setelah dilompati. Target permainan ini adalah membuat Phutball melewati garis gawang musuh dengan membangun rantai keping penghitung sepanjang papan. Yang menjadi kekhasan Phutball adalah, tak seperti dam, catur, go, atau Hex, ia tak menjatahkan keping berbeda kepada masing-masing pihak: para pemain memakai keping penghitung yang sama untuk membangun rantai. Alhasil, langkah yang dibuat oleh satu pemain dapat pula dilakukan oleh lawannya.

Matematikawan lain yang menyumbangkan ide untuk kolom saya adalah Frank Harary, kini di New Mexico State University, yang memperumum permainan tebak angka. Dalam versi Harary, yang disajikan di edisi April 1979, targetnya bukanlah membentuk garis lurus X atau O; para pemain berusaha menjadi yang pertama menyusun X atau O mereka di poliomino tertentu, misalnya poliomino L atau persegi. Ronald L. Rivest dari Massachusetts Institute of Technology mengizinkan saya menjadi orang pertama yang mengungkap—di kolom Augustus 1977—sistem sandi “public-key” yang ditemukannya bersama penemu lain. Itu merupakan sandi pertama dari serangkaian sandi yang merevolusi bidang kriptologi. Saya juga mendapat kesenangan dengan menyajikan seni matematis karya Maurits C. Escher, yang dimuat di sampul Scientific American edisi April 1961, serta ubin non-periodik yang ditemukan oleh Roger Penrose, fisikawan matematika asal Inggris yang terkenal atas penelitiannya di bidang relativitas dan black hole.

Ubin Penrose adalah contoh bagus bagaimana suatu penemuan yang diperoleh karena keasyikannya belaka ternyata memiliki kegunaan praktis tak terduga. Penrose menemukan dua jenis bentuk, “layangan” dan “anak panah”, yang meliputi bidang dengan cara non-periodik saja: tak ada bagian fundamental pola yang berulang. Saya menjelaskan signifikansi temuan ini di edisi Januari 1977, yang menampilkan pola ubin Penrose pada sampulnya. Beberapa tahun kemudian, bentuk 3-D ubin Penrose menjadi dasar untuk mengkonstruksi tipe struktur molekul tak dikenal yang disebut kuasi-kristal. Sejak saat itu, fisikawan menulis ratusan makalah riset mengenai kuasi-kristal dan atribut termal dan getarnya yang unik. Walaupun ide Penrose bermula dari perburuan rekreasional, ini melapangkan jalan untuk cabang solid-state physics (fisika benda padat) yang sama sekali baru.

Ubin Penrose

Pola Bintang dan Anak Panah

Kloset Siram Leonardo
Dua kolom yang mendatangkan surat tanggapan terbanyak adalah kolom April Mop dan kolom paradoks Newcomb. Kolom hoax ini, yang dimuat di edisi April 1975, dimaksudkan untuk membahas terobosan-terobosan hebat dalam sains dan matematika. Penemuan mencengangkan itu mencakup pembuktian kesalahan teori relativitas dan pembeberan [fakta] bahwa Leonardo da Vinci adalah penemu kloset siram. Kolom ini juga mengumumkan bahwa langkah pion ke benteng 4, sebagai pembuka permainan catur, pasti menjadi pemenang permainan, dan bahwa e yang dipangkatkan π ≤ √163 sama dengan bilangan bulat 262.537.412.640.768.744. Yang membuat saya heran, ribuan pembaca tidak mengakui kolom ini sebagai lelucon. Teksnya disertai peta rumit yang mensyaratkan lima warna untuk memastikan tak ada dua kawasan bertetangga memiliki warna yang sama. Ratusan pembaca mengirimi saya salinan peta dengan empat warna saja, dengan demikian menguatkan teorema empat warna. Banyak pembaca bilang pekerjaan itu memakan waktu berhari-hari.

Paradoks Newcomb diambil dari nama fisikawan William A. Newcomb, perintis ide ini, tapi pertama kali diuraikan dalam makalah teknis karangan ahli filsafat Universitas Harvard, Robert Nozick. Paradoks ini melibatkan dua boks tertutup, A dan B. Boks A berisi $1.000. Boks B tidak berisi atau berisi $1 juta. Anda punya dua pilihan: pilih Boks B saja atau dua-duanya. Memborong keduanya memang sepertinya pilihan yang lebih baik, tapi ada perangkap: suatu entitas super—atau Tuhan, jika Anda lebih suka menyebutnya begitu—punya kemampuan mengetahui lebih dulu bagaimana Anda akan memilih. Jika Dia memprediksi bahwa, karena rakus, Anda akan mengambil kedua boks, Dia akan membiarkan Boks B kosong, dan Anda akan memperoleh $1.000 saja dalam Boks A. Tapi jika Dia memprediksi Anda akan mengambil Boks B saja, Dia akan menaruh $1 juta di dalamnya. Anda sudah sering menyaksikan permainan ini dimainkan dengan orang lain, dan ketika pemain memilih kedua boks, dia mendapati Boks B kosong. Dan setiap kali pemain memilih Boks B saja, dia menjadi jutawan.

Bagaimana semestinya Anda memilih? Argumen pragmatis menyatakan, gara-gara permainan yang Anda saksikan sebelumnya, Anda beranggapan entitas super betul-betul memiliki kemampuan membuat prediksi akurat. Karenanya Anda pasti mengambil Boks B saja untuk menjamin Anda meraih $1 juta. Tapi tunggu dulu! Entitas super membuat prediksi sebelum Anda memainkan permainan dan tak punya kemampuan untuk mengubahnya. Pada saat Anda membuat pilihan, Boks B kosong, atau berisi $1 juta. Jika kosong, Anda takkan mendapat apa-apa kalau memilih Boks B saja. Tapi kalau Anda memilih kedua boks, sekurangnya Anda akan mendapatkan $1.000 di dalam Boks A. Dan jika Boks B berisi $1 juta, Anda akan mendapatkan satu juta plus seribu. Jadi apa ruginya memilih kedua boks?

Masing-masing argumen sepertinya tak bisa disangkal. Tapi dua-duanya bukan strategi terbaik. Nozick menyimpulkan bahwa paradoks ini, yang menjadi bagian dari sebuah cabang matematika bernama teori keputusan (decision theory), belum terpecahkan. Saya sendiri berpendapat, dengan menghasilkan kontradiksi logis, paradoks ini membuktikan mustahilnya entitas super mampu memprediksi keputusan. Saya menulis perihal paradoks ini di kolom Juli 1973 dan menerima begitu banyak surat tanggapan yang saya bungkus ke dalam kardus kemudian dikirim kepada Nozick. Dia menganalisa surat-surat tersebut di kolom tamu edisi Maret 1974.

Persegi ajaib (magic square) sudah lama menjadi bagian populer matematika rekreasional. Yang menjadikan persegi ini ajaib adalah susunan bilangan di dalamnya: bilangan di setiap kolom, baris, dan diagonal menghasilkan jumlah yang sama. Bilangan-bilangan dalam persegi ajaib biasanya harus non-identik dan berurutan, dimulai dari satu. Hanya ada satu persegi ajaib ordo-3, yang menyusun digit satu sampai sembilan dalam kisi tiga kali tiga. (Variasi yang dihasilkan dengan merotasi atau merefleksi persegi dianggap sepele.) Kontrasnya, ada 880 persegi ajaib ordo-4, dan jumlah susunan terus bertambah untuk ordo yang lebih tinggi. [Bilangan non-identik atau distinct number maksudnya adalah bilangan sekali pakai—penj.]

Paradoks Menghilangnya Area

Herannya, ini tidak berlaku pada heksagon ajaib (magic hexagon). Pada 1963, melalui pos, saya menerima sebuah heksagon ajaib ordo-3 yang ditemukan oleh Clifford W. Adams, pensiunan pegawai Reading Railroad. Saya lalu mengirimkan heksagon ajaib tersebut kepada Charles W. Trigg, matematikawan di Los Angeles City College, yang membuktikan bahwa pola elegan ini adalah satu-satunya kemungkinan heksagon ajaib ordo-3—dan bahwa tak mungkin ada heksagon ajaib ukuran lain!

Heksagon Ajaib

Bagaimana kalau bilangan-bilangan dalam persegi ajaib tidak disyaratkan berurutan? Jika persyaratannya hanya ketidakidentikan bilangan, maka beraneka persegi ajaib ordo-3 dapat dikonstruksi. Contoh, terdapat persegi ajaib ordo-3 dalam jumlah tak terhingga yang memuat bilangan-bilangan prima non-identik. Bisakah persegi ajaib ordo-3 dibuat dengan sembilan bilangan kuadrat non-identik? Dua tahun lalu, dalam artikel di Quantum, saya menawarkan imbalan $100 dolar untuk pola demikian. Sampai sekarang belum ada orang yang menyodorkan “persegi bilangan kuadrat”—tapi belum ada pula yang membuktikan kemustahilannya. Jika eksis, bilangannya akan sangat besar, barangkali di luar jangkauan superkomputer tercepat hari ini. Persegi ajaib semacam ini mungkin tak memiliki kegunaan praktis. Lantas kenapa matematikawan berusaha menemukannya? Karena mungkin saja ada.

Dr. Matrix yang Mengagumkan
Setiap tahun, sepanjang masa jabatan di Scientific American, saya mencurahkan sebuah kolom untuk wawancara khayalan dengan seorang ahli numerologi yang saya namai Dr. Irving Joshua Matrix (perhatikan “666” yang didapat dari jumlah huruf di nama depan, tengah, dan belakang). Doktor hebat ini menguraikan atribut aneh bilangan dan bentuk-bentuk ganjil permainan kata. Banyak pembaca mengira Dr. Matrix dan puterinya yang cantik, setengah Jepang, Iva Toshiyori, adalah sosok nyata. Saya teringat akan sebuah surat dari pembaca Jepang yang kebingungan. Baginya Toshiyori adalah nama keluarga teraneh di Jepang. Saya mengambilnya dari peta Tokyo. Informan saya bilang, dalam bahasa Jepang kata ini berarti “jalan kaum tua”.

Saya menyesal tidak sempat meminta pendapat Dr. Matrix tentang buku tak masuk akal yang laris di tahun 1997, The Bible Code, yang mengklaim menemukan ramalan masa depan dalam susunan huruf-huruf Ibrani di Perjanjian Lama. Buku tersebut mempergunakan sistem sandi yang mungkin akan membuat Dr. Matrix bangga. Dengan menerapkan sistem ini pada blok-blok teks tertentu secara selektif, pembaca yang penasaran bisa menemukan ramalan tersembunyi bukan cuma di Perjanjian Lama, tapi juga di Perjanjian Baru, al-Qur’an, Wall Street Journal—dan bahkan di halaman-halaman The Bible Code itu sendiri.

Terakhir kali saya dengar kabar dari Dr. Matrix, dia sedang di Hong Kong, menyelidiki kemunculan π secara kebetulan dalam karya-karya fiksi terkenal. Dia mengutip, contohnya, penggalan kalimat berikut di bab sembilan buku The Earth under the Martians (bagian kedua dari The War of the Worlds) karangan H.G. Wells: “For a time I stood regarding…” Huruf-huruf dalam kalimat ini menghasilkan π sampai enam digit!

Jawaban Teka-teki 1

Jawaban Teka-teki 2

Jawaban Teka-teki 3

Jawaban Teka-teki 4

Pencakar Langit

Penulis
Martin Gardner menulis kolom “Mathematical Games” untuk Scientific American sejak tahun 1956 sampai 1981 dan terus menyumbang kolom secara berkala selama beberapa tahun setelah itu. Kolom-kolom ini dihimpun dalam 15 buku, diakhiri dengan The Last Recreations (Springer-Verlag, 1997). Dia juga merupakan penulis The Annotated Alice, The Whys of a Philosophical Scrivener, The Ambidextrous Universe, Relativity Simply Explained, dan The Flight of Peter Fromm, yang terakhir ini adalah novel. Buku-buku lainnya mencapai lebih dari 70 buah, mengenai sains, matematika, filsafat, sastra, dan hobi utamanya, sulap.

Bacaan Lebih Lanjut

  • Recreations in the Theory of Numbers. Albert H. Beiler. Dover Publications, 1964.
  • Mathematics: Problem Solving through Recreational Mathematics. Bonnie Averbach dan Orin Chein. W.H. Freeman and Company, 1986.
  • Mathematical Recreations and Essays. Edisi ke-13. W.W. Rouse Ball dan H.S.M. Coxeter. Dover Publications, 1987.
  • Penguin Edition of Curious and Interesting Geometry. David Wells. Penguin, 1991.
  • Mazes of the Mind. Clifford Pickover. St. Martin’s Press, 1992.

One thought on “Seperempat Abad Matematika Rekreasional

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s