Terbuat Dari Matematika

Jeremy Butterfield
20 Mei 2014
(Sumber: plus.maths.org)

Matematika sangat pandai menguraikan dunia yang kita tinggali. Sampai-sampai sebagian orang berargumen matematika bukan sekadar alat untuk menguraikan dunia, melainkan dunia itu sendiri adalah struktur matematika. Klaim ini akan menggoda pecinta matematika manapun, tapi apa ini tahan terhadap penyelidikan? Kami meminta pendapat filsuf fisika Jeremy Butterfield, dan inilah yang dikatakannya.

Alam Semesta matematis?
Tak diragukan lagi, sejarah sains, khususnya fisika, menyimpan banyak ilustrasi akan kemampuan bahasa matematika dalam mendeskripsikan fenomena alam. Yang masyhur, Galileo sendiri—bapak pendiri deskripsi matematis gerak—mempertimbangkan penguraian banyak, mungkin semua, fenomena dalam perspektif matematika. Maka dalam The Assayer dia menulis sebagai berikut (“filsafat” dalam pengertian istilah kita adalah “ilmu alam” atau fisika”):

Potret Galileo karya Justus Sustermans, dilukis pada 1636.
Potret Galileo karya Justus Sustermans, dilukis pada 1636.

Filsafat ditulis dalam buku agung ini—maksudku alam semesta—yang terus-menerus terbuka bagi penglihatan kita, tapi ia tak dapat dimengerti kecuali kalau kita terlebih dahulu belajar memahami bahasa tulisannya. Ia ditulis dalam bahasa matematika, dan huruf-hurufnya adalah segitiga, lingkaran, dan gambar geometris lain, tanpanya mustahil secara manusiawi untuk mengerti satu katapun; tanpa ini semua, kita mengembara dalam labirin gelap.

Tentu saja, sejak zaman Galileo bahasa matematika telah berkembang pesat—bahkan beliau sebagai jenius akan merasa heran. Ini memberi kredibilitas pada klaim bahwa matematika lebih dari sekadar alat; bahwa ia tertanam lebih dalam pada sifat realitas. Sebagian orang membawa gagasan ini ke titik ekstrim: mereka sebut Alam Semesta sendiri adalah struktur matematika.

Bagaimana bisa begini? Satu garis penalaran, yang diambil oleh fisikawan Max Tegmark dalam bukunya Our Mathematical Universe, diawali dengan premis bahwa realitas eksternal bersifat independen sama sekali dari kita manusia. Jika ini benar, maka realitas eksternal harus punya deskripsi yang bebas sepenuhnya dari komponen-komponen subjektif: dengan kata lain, bebas sepenuhnya dari faktor-faktor yang timbul dari fakta biologis tentang kognisi manusia, atau fakta kultural, atau fakta tentang psikologi individual manusia.

Tegmark punya nama kiasan gamblang untuk komponen subjektif ini. Dia menyebutnya “bagasi”: istilah yang bermakna beban atau galat dalam deskripsi alam kita akibat bias dari riwayat biologis, kultural, atau individual kita. Bahkan dia punya kiasan lebih gamblang lagi untuk upaya pelucutan komponen subjektif dari deskripsi alam: upaya yang telah dilakukan, dan harus terus dilakukan, oleh sains, khususnya fisika, demi mengatasi bias. Maka dia sebut penyingkiran komponen subjektif sebagai “pengurangan tunjangan bagasi”. (Di zaman ketika kita merusak planet dengan terlalu banyak perjalanan jet, rasanya ini sasaran ideal.)

Deskripsi dunia tanpa bagasi, demikian bunyi argumen ini, adalah murni matematis. Ia terdiri dari entitas-entitas abstrak (yang dengan mata penuh bagasi kita anggap mewakili partikel-partikel fundamental penyusun dunia) dan hubungan di antara mereka. Sekali semua bagasi dilucuti, yang tersisa tak lain adalah matematika. Jadi Tegmark berusul, semestinya kita menyimpulkan dunia adalah struktur matematika.

Saya menjawab argumen ini sebagai berikut. Saya sependapat bahwa sains, khususnya fisika, secara historis melakukan upaya berturut-turut untuk mengatasi beragam bias koginitif akibat komposisi subjektif kita (biologis, kultural, atau individual). Saya juga sependapat, untuk membuat kemajuan di masa depan, kita harus berharap fisika meneruskan upaya tersebut. Banyak ilmuwan lain, khususnya fisikawan, dan filsuf, akan sependapat dengan ini. Saya juga percaya, realitas eksternal bersifat independen dari kita manusia—dalam filsafat ide ini kerap dijuluki realisme—dan bahwa hipotesis realitas eksternal ini mengimplikasikan realitas harus memiliki deksripsi yang bebas sepenuhnya dari komponen subjektif. Tapi saya tidak sependapat bahwa ini mengimplikasikan Alam Semesta adalah struktur matematika.

Pendek kata, pesan saya adalah: bedakan! Kita harus membedakan matematika terapan (juga disebut fisika teoritis) dan matematika murni.

Matematika terapan…
Matematika terapan memberi—atau sekurangnya bertujuan memberi—deskripsi sejati fenomena empiris, khususnya fisikal, yang terdapat di ruang dan waktu. Tapi “sejati” tidak pasti “lengkap”. Contoh, saya menumpahkan segelas susu hingga menyebar di atas meja. Matematika terapan berhasil menguraikan bagaimana ia mengalir, dari segi kuantitas-kuantitas fisikal relevan, seperti posisi, kecepatan, dan densitas volume-volume kecil susu. Tapi kita melalaikan banyak detil, contohnya komposisi atom susu. Tentu saja, ini dikerjakan dengan memodelkan susu sebagai zat yang tersusun dari volume-volume cukup besar untuk memuat banyak atom (dan, kita harap, untuk tidak terpengaruh oleh fenomena atom), tapi juga kecil menurut standar kita manusia, sehingga susu tampak malar dalam hal susunannya.

Susu: bagaimana ia mengalir?
Susu: bagaimana ia mengalir?

Fitur krusial dari contoh ini adalah penyebutan “kuantitas fisikal relevan”: posisi, kecepatan, dan densitas. Tentu saja, sejak zaman Galileo salah satu semarak agung fisika adalah pengenalan kuantitas baru dan penghalusan kuantitas lama—terkadang dengan cara amat halus. Ia telah menggabungkan yang baru dan yang lama dalam sekumpulan hukum dan metode yang—meski bisa keliru, dan bahkan berubah bersama berlalunya dekade—beralih dari satu keberhasilan ke keberhasilan lain, dalam hal pemahaman teoritis maupun prediksi kuantitatif empiris.

Kita sudah berjalan jauh dari “segitiga, lingkaran, dan gambar geometri lain”-nya Galileo. Di masanya, memang beralasan untuk berharap fisika dapat mengurus konsep geometri saja (sebagaimana diwariskan dari Yunani) dan mungkin lebih sedikit—misalnya gagasan sentuhan atau tubrukan, dan massa dan/atau densitas. Tapi nyatanya tidak. Imajinasi alam melampaui imajinasi kita! Jadi, begitu fisika mulai memeriksa domain fenomena baru, ia harus memperkenalkan kuantitas baru (dan juga harus menghaluskan kuantitas lama). Kuantitas-kuantitas fisikal tersendiri inilah (dan tentunya harga-harga mereka untuk sistem yang diuraikan) yang disinggung lewat lambang-lambang dalam persamaan fisika.

Jadi ringkasnya: sekarang ini kita harus merevisi ucapan Galileo. Alih-alih “Alam adalah buku yang ditulis dalam bahasa matematika”, seharusnya kita berkata: “Alam adalah buku yang ditulis dalam sintaks matematika, tapi dengan semantika fisika”.

…versus matematika murni
Apa itu matematika murni? Apa maksud saya saat berteriak: “bedakan!”?

Pada pertengahan abad 19, untuk beberapa alasan, muncullah ide matematika sebagai penyelidikan struktur-struktur sembarang. Dengan kata lain: orang mulai menganggap matematika sebagai penyelidikan konsekuensi kaidah sembarang yang dipostulatkan oleh matematikawan sebagai [kaidah] pengatur suatu domain elemen-elemen. Kaidah-kaidah ini abstrak, dalam artian perilaku struktural mereka saja yang masuk hitungan; dan elemen-elemennya juga abstrak, dalam artian tak ada asumsi perihal sifat mereka, atau hubungan dengan satu sama lain, selain bahwa mereka mematuhi kaidah yang diumumkan.

Semua bentuk hitam dan putih dalam gambar ini adalah segitiga hiperbolik, yang sudut-sudutnya berjumlah kurang dari 180 derajat.
Semua bentuk hitam dan putih dalam gambar ini adalah segitiga hiperbolik, yang sudut-sudutnya berjumlah kurang dari 180 derajat.

Geometri menyediakan contoh. Geometri terdiri dari sehimpunan objek (titik, garis, bidang, dll) dan beberapa fakta dasar tentang objek-objek ini (contohnya dengan bantuan dua titik Anda dapat menggambar garis). Tapi ada beberapa struktur berbeda yang memenuhi deskripsi ini. Bidang dua-dimensi familiar melahirkan geometri patut; tapi demikian pula permukaan bola, di mana lingkar besar memainkan peran garis lurus. Keduanya berbeda secara fundamental, bukan karena segitiga berperilaku lain: pada bidang [datar], sudut-sudut mereka selalu berjumlah 180 derajat, sedangkan pada [permukaan] bola jumlahnya lebih dari 180 derajat lantaran segitiga menonjol keluar. Di abad 19, matematikawan juga menemukan geometri tipe ketiga, disebut hiperbolik, di mana sudut-sudut segitiga berjumlah kurang dari 180 derajat. Ia melukiskan ruang yang tidak kita alami dalam kehidupan sehari-hari. Penemuan ini memaksa matematikawan membedakan geometri aktual ruang fisikal (materi empiris yang terungkap lewat perilaku mistar dan busur derajat) dan ide sistem geometri murni (yang konsisten, dan layak diselidiki, sekalipun tidak melukiskan ruang fisikal). (Lihat ini untuk mempelajari lebih jauh berbagai tipe geometri.)

Dua makna “adalah”
Dengan demikian kita sampai pada gagasan modern mengenai struktur matematis murni: ia terdiri dari sekumpulan objek, dilengkapi beberapa atribut dan relasi, contohnya operasi perkalian, yang tunduk pada kaidah tertentu. Objek, atribut, dan relasi, semuanya bersifat abstrak, dalam arti tak ada asumsi perihal sifat mereka, kecuali perilaku yang dipostulatkan oleh kaidah. Yang menjadi soal bagi kita adalah kontras besar dengan matematika terapan, dan strukturnya: dalam matematika murni tak ada penyebutan kuantitas fisikal.

Ketiadaan isi struktur matematika murni ini selaras sempurna dengan ide bahwa sesuatu yang berisi, contohnya sesuatu yang menyebutkan kuantitas fisikal, adalah contoh struktur matematika murni. Misal, saya punya ribuan atribut: ukuran, bentuk, massa, suhu, dll. Keluarga saya punya ribuan atribut dan relasi—massa total kami, yang satu lebih masif daripada yang lain, yang satu pertengahan di antara keduanya, dll. Semua ini berisi. Tapi saya juga adalah satu contoh dari banyak atribut abstrak tak berisi: kurang dari dua dalam hal jumlah, bukan persamaan, dll. Demikian pula, keluarga saya sebagai sekumpulan objek adalah satu contoh dari banyak atribut dan relasi abstrak tak berisi: lebih dari dua dalam hal jumlah, membentuk node dalam wujud pohon silsilah, dll.

Tapi meski sesuatu yang berisi bisa menjadi contoh struktur tak berisi, ia tak boleh dianggap setara dengan struktur tersebut. “Adalah”-nya identitas, sebagaimana dalam a = b, bukanlah “adalah”-nya instansiasi, sebagaimana dalam “Max adalah jangkung”. Jika a = b, maka a dan b mempunyai isi yang sama, kalau memang ada (dalam pengertian “isi” apapun yang Anda sukai). Hanya ada satu entitas: a, yang juga disebut b. Tapi dalam kasus “Max adalah jangkung”, Max boleh jadi memiliki atribut tak terhitung, seberisi bagaimanapun sesuka Anda (dalam pengertian apapun), yang tidak ditangkap atau disandi oleh, atau bagian dari makna, predikat “adalah jangkung”.

Dengan kajian di atas, tinjauan saya terhadap klaim alam adalah matematika sudah diterangkan dengan sangat sederhana. Itu semua bergantung pada pembedaan sederhana tapi krusial antara “adalah”-nya identitas dan “adalah”-nya instansiasi. Dengan gembira saya akui dunia yang kita tinggali menginstansiasi struktur matematika, tapi saya menyangkal ia adalah struktur matematika—yakni struktur matematika murni yang sejak abad 19 kita anggap “abstrak” atau “tak berisi”.

Anda bisa baca artikel ini dalam versi lebih rinci di arxiv.

Tentang Penulis
Jeremy Butterfield
Jeremy Butterfield adalah filsuf fisika di Universitas Cambridge.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s