Mencari Kebenaran yang Hilang

Oleh: Marianne Feiberger
28 Januari 2011
(Sumber: plus.maths.org)

Banyak orang suka matematika karena ia memberi jawaban pasti. Segalanya benar atau salah, dan hal-hal benar terasa benar secara amat fundamental.

Namun faktanya belakangan ini matematika sedang berjalan di atas landasan filosofis yang goyah. Dengan terbitnya karya-karya ahli logika Kurt Gödel dan lain-lain pada 1930-an menjadi jelaslah bahwa terdapat batas pada kemampuan matematika dalam menekankan kebenaran. Bahkan, kita dapat membangun versi-versi matematika berlainan di mana pernyataan tertentu bisa benar atau salah tergantung pada preferensi Anda. Ini menimbulkan kemungkinan bahwa matematika mirip sebuah permainan di mana kita memilih aturan agar sesuai dengan tujuan kita. Selamat tinggal gagasan indah Platonik tentang kebenaran matematika yang abadi dan merdeka.

Tapi barangkali kita punya alasan untuk optimis. Dalam Kongres Matematikawan Internasional tahun lalu Plus berbincang-bincang dengan matematikawan Hugh Woodin. Dia yakin, kendati mungkin ada banyak “alam semesta” matematis berlainan, salah satunya akan segera dipilah sebagai [alam semesta] “yang benar” menurut Anda.

Hugh Woodin
Hugh Woodin

Bilangan dari nihil
Woodin bekerja dalam teori himpunan, bidang yang berada di dasar matematika. Himpunan dalam matematika hanyalah sekumpulan objek—objek apa saja. Mereka bisa bilangan, lambang, segitiga, atau campuran semuanya. Himpunan ditulis dengan kurung kurawal, contohnya himpunan berisi bilangan 1, 2, 3 ditulis sebagai {1, 2, 3}. Anggota himpunan disebut elemen. Penting untuk dicatat, sebuah himpunan bisa jadi merupakan elemen himpunan lain. Contoh, jika Anda pertimbangkan isi troli belanjaan sebagai himpunan, maka kantong jeruk yang Anda beli juga adalah sekumpulan barang dan karenanya merupakan himpunan.

Himpunan adalah sekumpulan objek
Himpunan adalah sekumpulan objek

Bahwa gagasan himpunan yang sepele bisa begitu fundamental untuk matematika, ini mungkin terasa mengejutkan. Tapi ternyata hampir semua objek matematika dapat dideskripsikan dalam bahasa himpunan.

Sebagai contoh, pikirkan bilangan asli 0, 1, 2,…. Jika Anda bertemu alien yang tak punya gambaran akan bilangan, tapi paham himpunan, Anda dapat mendefinisikan bilangan-bilangan tersebut secara rekursif sebagai berikut.

  • 0 adalah himpunan kosong, dilambangkan dengan Ø, yakni himpunan tanpa isi.
  • 1 adalah {0}, himpunan berisi bilangan 0 saja (yang sudah kita definisikan di atas).
  • 2 adalah {0, 1}, himpunan bersisi dua bilangan sebelumnya.
  • 3 adalah {0, 1, 2}.
  • Dan seterusnya
  • Secara umum, bilangan n adalah himpunan {0, 1, 2,…, n – 1} berisi semua bilangan terdahulu.

Definisi hirarkis ini segera memberi Anda urutan bilangan, serta gagasan apa maknanya menambah 1 pada bilangan tertentu: Anda tinggal naik satu tingkat di dalam hirarki. Dua gagasan ini cukup memberi Anda semua aritmetika, sebab penjumlahan dan perkalian dapat disamakan dengan penjumlahan 1 secara berulang-ulang, sementara pengurangan dan pembagian adalah kebalikannya. Jadi, aritmetika bilangan asli secara harfiah dapat dibangun dari nihil, hanya memanfaatkan gagasan himpunan. Dan ternyata hampir setiap objek matematis lain dapat dikonstruksi dari himpunan pula.

Jalan menuju ketakterhinggaan
Barangkali ciri terpenting himpunan adalah ia memberi kita pandangan sekilas tentang ketakterhinggaan. Sebagaimana disoroti oleh matematikawan Georg Cantor di akhir abad 19, untuk memeriksa apakah dua himpunan X dan Y mempunyai jumlah elemen yang sama, Anda tak usah menghitung mereka. Anda cukup menyandingkan setiap elemen X dengan setiap elemen Y, sehingga tak ada elemen X yang mitra elemen Y-nya sama. Jika Anda bisa lakukan ini tanpa ada sisa di masing-masing himpunan, maka kedua himpunan memiliki ukuran yang sama, atau kata matematikawan, kardinalitas yang sama.

Georg Cantor
Georg Cantor

Sekarang ambil dua himpunan ananta (tak terhingga), misalnya himpunan N berisi semua bilangan asli dan himpunan E berisi semua bilangan genap. Setiap elemen E dapat disandingkan dengan setiap elemen N sebagaimana berikut:

Himpunan N dan E

Jadi sekalipun kedua himpunan adalah ananta, dan himpunan yang satu termuat dalam himpunan yang lain, kita bisa bilang mereka mempunyai kardinalitas yang sama.

Namun Cantor juga memperlihatkan bahwa mustahil memperoleh penyandingan persis antara bilangan asli dan bilangan riil (bilangan riil adalah semua bilangan yang terdapat sepanjang deret bilangan). Ada “lebih banyak” bilangan riil daripada bilangan asli, sebab betapapun Anda menyandingkan bilangan asli dengan bilangan riil, akan selalu ada sisa bilangan riil.

Ini mengindikasikan ada dua tipe ketakterhinggaan, yang satu lebih besar daripada yang lain. Pertama, ketakterhinggaan bilangan asli, dinamakan ketakterhinggaan yang dapat dihitung (countable infinity). Ketakterhinggaan kedua disebut kontinum/malaran (continuum). Apakah ada ketakterhinggaan “penengah” di antara dua ketakterhinggaaan ini? Pertanyaan ini ternyata sangat rumit, dan akan kita singgung lagi nanti.

Cantor tidak berhenti pada dua tipe ketakterhinggaan ini, tapi betul-betul mendefinisikan keseluruhan hirarki mereka, masing-masing lebih besar daripada sebelumnya. Dia menyebut ananta-ananta ini sebagai bilangan kardinal dan bahkan mendapat cara untuk mengerjakan aritmetika dengannya. Setiap bilangan kardinal mengukur ukuran himpunan ananta beratribut tertentu. (Anda bisa caritahu lebih banyak perihal konstruksi ini dalam artikel Plus berjudul Cantor and Cohen: Infinite Investigators.)

Sejak penelitian Cantor para matematikawan telah memperluas galeri ketakterhinggaannya, menambahkan monster-monster ananta yang terus membesar. Struktur yang timbul betul-betul menakjubkan. “Yang luar biasa adalah ada banyak cara berlainan dalam merumuskan hirarki bilangan-bilangan kardinal besar,” jelas Woodin, “tapi semua pendekatan berujung pada hirarki yang sama. Terdapat teorema-teorema mendalam yang menyatakan bahwa satu gagasan ketakterhinggaan diukur oleh ketakterhinggaan lain. Secara parsial ini menjustifikasi klaim bahwa hirarki ketakterhinggaan merupakan inti fundamental teori himpunan.”

Matematika formal
Terpacu sebagian oleh kemampuan abstrak himpunan, matematikawan di awal abad 20 merasa hampir meraih impian kuno: menempatkan seluruh matematika di atas pijakan logis kokoh dan membuktikan bahwa ia tak mengandung kontradiksi. Mungkin ini terdengar aneh, berhubung matematika adalah disiplin ilmu paling ketat. Tapi faktanya ia dipenuhi asumsi tersembunyi dan lompatan keyakinan (leap of faith: mempercayai atau menerima sesuatu yang tak dapat diraba atau dibuktikan, atau tanpa bukti empiris—penj). Contoh, dalam definisi bilangan asli di atas kita secara implisit beranggapan bahwa ada yang namanya himpunan kosong.

Cantor sadar, bilangan riil lebih banyak daripada bilangan asli. Ini baru awal hirarki ketakterhinggaan.
Cantor sadar, bilangan riil lebih banyak daripada bilangan asli. Ini baru awal hirarki ketakterhinggaan.

Untuk menyingkirkan wilayah abu-abu semacam itu dari matematika, Anda perlu membangunnya sebagai sistem formal. Anda perlu pernyataan asumsi jernih yang siap Anda terima tanpa bukti—disebut aksioma. Anda perlu tegas tentang kaidah penyimpulan logis yang Anda anggap valid, contohnya kaidah “jika x = y dan y = z, maka x = z”. Kemudian Anda cukup menganggap sebuah pernyataan sebagai benar jika dapat disimpulkan dari aksioma dengan kaidah penyimpulan Anda.

Teori himpunan rupanya menyediakan kerangka sempurna untuk sistem formal demikian. Nyaris semua objek matematis dapat didefinisikan dalam bahasa himpunan, dan gagasan himpunan cukup sederhana untuk menghasilkan himpunan aksioma relatif pendek dan tajam. Ini matematikawan lakukan sebagaimana seharusnya. Ernst Zermelo dan Abraham Fraenkel memajukan seperangkat delapan aksioma, dikenal sebagai aksioma ZF, yang mencakup pernyataan bahwa himpunan kosong memang eksis, serta pernyataan agak intuitif lain seperti “dua himpunan adalah setara jika dan hanya jika mereka memiliki anggota yang sama” (klik di sini untuk daftar lengkap aksioma ZF). Perangkat aksioma yang paling umum dipakai hari ini terdiri dari aksioma-aksioma ZF ditambah aksioma pilihan yang agak mengherankan. Mereka dikenal sebagai aksioma ZFC.

Matematika tak lengkap
Impian aksioma buyar pada 1930, terutama akibat dua hasil penelitian yang dibuktikan oleh matematikawan Kurt Gödel. Konsekuensi dari teorema ketidaklengkapan masyhur milik Gödel adalah bahwa dalam suatu sistem matematika formal yang menggambarkan aritmetika bilangan asli akan senantiasa ada pernyataan yang tak dapat dibuktikan benar ataupun salah berdasarkan aksioma. Sebagaimana Gödel ungkapkan kepada Zermelo dalam sebuah surat, “Untuk tiap sistem formal terdapat pernyataan yang dapat diekspresikan di dalam sistem, tapi tidak disimpulkan dari aksioma sistem tersebut.” (Anda bisa baca lebih jauh tentang teorema ketidaklengkapan dalam artikel Plus berjudul Gödel and the Limits of Logic.)

Kurt Gödel
Kurt Gödel

Jadi pernyataan macam apa yang tidak bisa disimpulkan di dalam aksioma ZFC? Kita sudah menjumpainya di atas. Sebagaimana Cantor catat, ketakterhinggaan kontinum adalah “lebih besar” daripada ketakterhinggaan bilangan asli. Pernyataan bahwa tak ada ketakterhinggaaan “penengah” di antara keduanya dikenal sebagai hipotesis kontinum. Ternyata di dalam sistem berbasis aksioma ZFC, hipotesis kontinum tidak dapat dibuktikan. Ia tidak benar ataupun salah, ia berada di luar batas ZFC. (Anda bisa caritahu lebih lanjut tentang hipotesis kontinum dalam artikel Plus ini.)

Ini agak mengagetkan, sebab secara naif kita merasa persoalan semacam hipotesis kontinum harusnya punya jawaban. Barangkali aksioma ZFC tidak cukup kuat dan kita perlu menambahkan yang lain? Bahkan kita bisa tambahkan hipotesis kontinum itu sendiri sebagai aksioma. Dengan kata lain kita bisa sepakat untuk menerimanya tanpa bukti. (Ini terjadi pada aksioma pilihan, lihat artikel Plus berjudul Cantor and Cohen: Infinite Investigators.)

Akan tetapi pendekatan ini problematis. Pertama, sebagaimana dibuktikan oleh temuan Gödel, sistem baru beraksioma tambahan berapapun akan memuat persoalan yang tak dapat disimpulkan. Kedua, ada banyak hasil yang tidak dapat disimpulkan dalam teori himpunan ZFC. Menambahkan aksioma ke seluruh tempat hanya demi menyelesaikannya bukan cuma akan memasukkan kontradiksi, tapi juga berkesan menipu.

Jadi apa ini artinya untuk kebenaran matematika? “Orang boleh mengambil pandangan, dan sebagian sudah memegangnya, bahwa kemerataan persoalan tak terpecahkan dalam teori himpunan menjadi indikasi ia adalah buah imajinasi manusia yang berlebihan dan tak ada makna di dalamnya. Ia cuma buah bakat biologis kita,” kata Woodin. “Saya kira itu tidak benar. Tapi sebelum kita temukan peradaban baru dan mencaritahu apa matematika mereka sama dengan matematika kita, ini sulit dipastikan.”

Aksioma yang hilang
Namun ada jalan tengah yang tidak melibatkan pencarian makhluk alien. Aksioma-aksioma teori himpunan yang diterima merupakan produk rekaan manusia. Mereka dipilih karena “terasa” alami dan mencerminkan intuisi kita akan makna himpunan dan sifat ketakterhinggaan. Barangkali ada satu (atau beberapa) aksioma tambahan yang melengkapi intuisi ini secara signifikan. Jika kita tambahkan mereka, kita masih akan berurusan dengan persoalan tak tersimpulkan, tapi mungkin kita dapat membereskan sebagian besar longsoran ketaktersimpulan yang telah menimpa teori himpunan. “Orang mungkin bilang ini cuma permainan, kau cuma memilih-milih aksioma untuk menyelesaikan masalahmu,” kata Woodin. “Padahal tidak juga. Terdapat intuisi fundamental yang membingkai teori himpunan. Jika Anda temukan jawaban berdasarkan perhitungan prinsip-prinsip tersebut, maka itu bukan sekadar permainan. Ada pepatah: aksioma ZFC tidak menangkap seluruh intuisi kita.”

Pada 1930-an silam Gödel sendiri memajukan aksioma tambahan, disebut aksioma konstruktabilitas, yang bersama aksioma ZFC telah menyelesaikan hipotesis kontinum, serta banyak persoalan tak tersimpulkan lainnya. Lebih tepatnya, Gödel menemukan kelas himpunan yang memuaskan aksioma ZFC dan memiliki atribut tambahan yang memungkinkannya menjawab persoalan tak terputuskan ini. Aksioma konstruktabilitas menyatakan bahwa semesta himpunan yang dapat dikonstruksi milik Gödel sebetulnya merupakan satu-satunya yang ada: tak ada himpunan lain yang mengacaukan keadaan.

Aksioma apa yang hilang?
Aksioma apa yang hilang?

Celakanya, semesta Gödel tidak memuat mayoritas himpunan ananta yang timbul dari hirarkinya Cantor. Dalam teori himpunan ZFC usang dan sederhana, eksistensi bilangan-bilangan kardinal besar ini tak dapat disimpulkan, sebagaimana hipotesis kontinum. Tapi begitu Anda tambahkan aksioma konstruktabilitas pada ZFC, ketaktersimpulan itu hilang: Anda bisa buktikan bahwa mayoritas ananta-ananta besar ini tidak eksis. Hal ini sulit diterima oleh banyak ahli teori himpunan: sebuah aksioma yang memangkas sebongkah besar hirarki fundamental rasanya terlalu mengekang. Atas alasan ini dan lainnya, semesta Gödel dan aksioma konstruktabilitas ditolak.

Tapi tidak lenyap sama sekali. Belakangan ini Woodin dan kolega memodifikasi semesta Gödel secara sistematis untuk mencakup himpunan ananta yang semakin besar. Penelitian inilah yang menggiring Woodin untuk merumuskan gagasan semesta himpunan Gödel versi final, yang mampu menampung semua bilangan kardinal besar, dan mungkin menuntun beliau menuju aksioma yang hilang. Aksioma yang dimaksudnya melibatkan eksistensi ananta-ananta amat besar yang dikenal sebagai bilangan kardinal Woodin.

Optimisme Woodin bahwa dirinya berada di jalur yang benar didasarkan pada keberhasilan terdahulu. Beberapa lama matematikawan kebingungan oleh sekelompok persoalan klasik yang vital untuk bidang matematika tertentu, yang tak dapat disimpulkan di bawah ZFC. Jelaslah persoalan-persoalan ini akan terjawab jika semua himpunan memenuhi atribut bernama determinasi proyektif, tapi tak ada alasan mengapa mereka harus memenuhinya. Sekilas determinasi proyektif tak ada kaitannya dengan hirarki ketakterhinggaan, tapi pendekatan Woodin dan kolega menunjukkan keduanya bertautan. Jika Anda bersedia menerima aksioma tertentu yang melibatkan bilangan kardinal Woodin, maka determinasi proyektif muncul sebagai konsekuensi. Mereka juga mampu menunjukkan bahwa aksioma milik mereka pada hakikatnya adalah satu-satunya aksioma yang dapat memberikan determinasi proyektif, tunduk pada beberapa batasan struktural yang cukup umum.

Sinergi antara konsep-konsep tak terkait ini memberi kredibilitas pada pendekatan Woodin dalam menemukan aksioma fundamental yang hilang. “Andai semua ini hanya usaha manusia, maka tak ada alasan untuk mengharap kesuksesan seperti ini. Kami sedang mencari aksioma baru atas dasar intuisi dan dalam situasi macam ini tak ada alasan untuk percaya bahwa pencarian tersebut pasti berhasil. Agak mirip dengan mencari kuda unicorn. Kita merasa tahu seperti apa wujud unicorn, tapi bukan berarti kita akan menemukannya.” Jika Anda menemukan unicorn, berarti Anda sudah berbuat benar.

Biar bagaimanapun, tidak dijamin berhasil. Apakah aksioma fundamental Woodin betul-betul masuk akal? Ini tergantung pada pertanyaan terbuka yang masih harus dijawab. “Ini sangat spekulatif,” akunya. “Tapi ada sederet penaksiran yang dirumuskan selama dua atau tiga tahun terakhir, yang jika arahnya benar akan menuntun kita kepada konsepsi unik semesta himpunan ini. Kalau ini terjadi, maka akan menyelesaikan hipotesis kontinum [sebagai benar] dan banyak masalah lain yang belum terpecahkan. Bagi saya, keseluruhan subjek ini sedang berada di persimpangan kritis.”

Dalam ICM 2010, Woodin membuat prediksi berani dan kontroversial bahwa aksioma miliknya akan “disahkan atas prinsip ketakterhinggaan yang tegas dan diakui”. Tapi dia sudah buktikan bahwa dirinya bisa berubah pikiran manakala ada bukti baru. Beberapa tahun lalu dia terekam menyebut hipotesis kontinum sebetulnya bisa dianggap salah, berdasarkan penelitian yang sedang dikerjakannya waktu itu. Kini pendapatnya berbalik.

Tapi apa dia tahu kapan aksioma barunya akan tersahkan? “Mustahil dipastikan. Bisa setahun, bisa seratus tahun. Secara pribadi saya merasa kita akan tahu lebih banyak dalam satu atau dua tahun ke depan, meski sebagian penaksiran ini terlihat cukup sulit. Itulah intinya: kalau Anda punya penaksiran dalam matematika, Anda tak tahu apa ia akan terjawab besok atau seribu tahun kemudian.”

Tentang Penulis
Marianne Freiberger adalah salah satu editor Plus. Dia mewawancarai Hugh Woodin, Profesor Matematika di Universitas California, Berkeley, dalam Kongres Matematikawan Internasional pada Agustus 2010.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s