Memahami Dimensi

(Sumber: Jim Al-Khalili, “Black Hole, Wormhole, dan Mesin Waktu” Bab I: Dimensi ke-4, diterjemahkan oleh Sainstory, Agustus 2012)

Berhubungan dengan bentuk

Geometri adalah cabang matematika seputar atribut dan hubungan titik, garis, permukaan, dan benda padat. Kebanyakan orang barangkali tidak mengingat geometri yang dipelajarinya di sekolah: luas lingkaran, panjang sisi segitiga siku-siku, volume kubus dan silinder, tak lupa pula alat-alat keterampilan handal itu, kompas dan busur derajat, dengan nostalgia kecintaan. Karenanya saya berharap Anda tidak terlalu tertunda oleh bab yang dicurahkan untuk geometri.

Dalam semangat perang buku ini terhadap bahasa Jargon ilmiah, saya akan mendefinisikan ulang pengertian geometri dengan menyatakan bahwa ia berhubungan dengan bentuk. Mari kita periksa apa yang dimaksud dengan bentuk dalam pengertian paling umum. Perhatikan huruf ‘S’. Bentuk-nya disebabkan oleh sebuah garis melengkung. Sepercik cat pada kanvas juga memiliki bentuk, tapi ini bukan lagi berbentuk garis melainkan luas. Objek-objek padat memiliki bentuk pula. Kubus, bola, manusia, mobil, semuanya memiliki bentuk geometris yang disebut volume.

Atribut yang berlainan pada ketiga kasus di atas—garis, permukaan, dan volume—adalah jumlah dimensi yang dibutuhkan untuk mendefinisikan mereka. Garis dikatakan satu-dimensi, atau 1D, luas adalah dua-dimensi, atau 2D, dan volume adalah 3D.

Adakah suatu alasan mengapa saya tidak bisa terus beranjak ke dimensi lebih tinggi? Apa yang begitu istimewa dengan angka tiga sampai kita harus berhenti di situ? Jawabannya adalah, tentu saja, kita hidup di alam semesta yang mempunyai tiga dimensi ruang; kita mempunyai kebebasan untuk bergerak ke depan/ke belakang, ke kiri/ke kanan, dan ke atas/ke bawah, tapi mustahil bagi kita untuk menunjuk ke arah baru yang siku-siku terhadap tiga arah lain tersebut. Dalam matematika, ketiga arah ke mana kita bebas bergerak ini disebut saling tegak lurus, bahasa matematikawan untuk ‘siku-siku terhadap satu sama lain’.

Semua objek padat di sekeliling kita adalah 3D. Buku yang Anda baca ini memiliki tinggi, lebar, dan tebal tertentu (ketiganya adalah panjang yang diukur ke arah yang siku-siku terhadap satu sama lain). Bersama-sama, ketiga bilangan ini menetapkan dimensi buku. Nyatanya, jika Anda mengalikan bilangan-bilangan tersebut, Anda memperoleh volumenya. Ini tidak berlaku untuk semua objek padat. Bola, misalnya, hanya butuh satu bilangan untuk menetapkan ukurannya: jari-jari. Tapi ia tetap tiga-dimensi sebab merupakan objek padat yang tersimpan di ruang 3D.

Kita menyaksikan di sekeliling kita bentuk-bentuk yang satu-dimensi, dua-dimensi, ataupun tiga-dimensi, tapi tidak pernah empat-dimensi sebab objek demikian tidak dapat ditampung di ruang tiga-dimensi kita. Bahkan kita tidak bisa membayangkan seperti apa bentuk empat-dimensi. Membayangkan sesuatu berarti membangun modelnya dalam otak kita yang hanya mampu menanggulangi sampai tiga dimensi. Kita benar-benar takkan sanggup memahami bentuk 4D.

Gambar 1.1. Fred sang dot hidup di alam semesta satu-dimensi yang (a) flat dan (b) melengkung.
Gambar 1.1. Fred sang dot hidup di alam semesta satu-dimensi yang (a) flat dan (b) melengkung.

Bagi banyak orang, ‘satu-dimensi’ berarti ‘satu arah’. Penambahan dimensi lain pada sesuatu berarti memperkenankannya bergerak ke arah baru. Cukup benar, tapi, Anda mungkin bertanya, bagaimana dengan huruf ‘S’ tadi? Saat menuliskan ‘S’, pena Anda membuat kurva ke arah-arah berlainan. Bagaimana mungkin bentuk akhirnya masih 1D? Bayangkan sebuah dot bernama Fred yang tinggal di garis lurus (gambar 1.1). Fred tak bisa bergerak ke luar garis dan dilarang bergerak ke atas atau ke bawah. Kita katakan gerakan ini satu-dimensi. Nyatanya, karena garis merupakan keseluruhan alam semesta Fred, kita katakan dia tinggal di alam semesta 1D. Tapi bagaimana kalau alam semestanya adalah huruf ‘S’? Berapa banyak dimensi yang dia tinggali sekarang? Jawabannya tetap satu. Dia masih dilarang bergerak ke atas atau ke bawah garis. Hidupnya mungkin kini lebih menarik karena terdapat beberapa belokan untuk dilalui, tapi melengkungkan sebuah bentuk tidaklah menambah jumlah dimensinya. (Ngomong-ngomong, karena Fred sendiri hanyalah dot, atau ‘titik’ menurut definisi matematis, dia merupakan makhluk nol-dimensi.)

Cara lain untuk membahas dimensi-dimensi sebuah ruang adalah dengan mengetahui berapa banyak bilangan, disebut koordinat, yang kita perlukan untuk menemukan posisi tertentu di dalam ruang tersebut. Contoh berikut, yang saya ingat pernah saya baca bertahun-tahun silam tapi entah di mana, merupakan contoh tergamblang setahu saya. Bayangkan Anda berada di atas tongkang yang menyusuri kanal. Berdasarkan suatu titik acuan, katakanlah desa yang Anda lewati sebelumnya, Anda hanya perlu satu bilangan: jarak yang Anda tempuh dari desa itu, untuk menetapkan posisi Anda. Jika Anda kemudian memutuskan berhenti untuk makan siang, Anda bisa menelepon seorang teman dan memberitahunya bahwa Anda berada, katakanlah, enam mil ke arah hulu dari desa. Tak peduli seberapa berliku kanal tersebut, enam mil adalah jarak yang Anda tempuh dan bukan ‘jalan lurus’. Jadi kita katakan tongkang itu dibatasi untuk bergerak ke satu dimensi, sekalipun tidak ketat dalam garis lurus.

Bagaimana jika Anda berada dalam kapal di samudera? Anda perlu dua bilangan (koordinat) untuk menemukan posisi Anda. Berkenaan dengan suatu titik acuan, katakanlah dermaga terdekat atau koordinat internasional, bilangan itu adalah garis lintang dan garis bujur. Karenanya, kapal tersebut bergerak ke dua dimensi.

Untuk kapal selam, di sisi lain, Anda perlu 3 bilangan. Di samping garis lintang dan garis bujur, Anda juga harus memperinci panjang dimensi ketiga, kedalaman. Jadi kita katakan kapal selam bebas bergerak di ruang tiga-dimensi.

Apa itu ruang?

Dalam rapat staf di Departemen Fisika Universitas Surrey di mana saya bekerja, selalu terdapat item berjudul ‘Ruang’ pada agenda. Dalam agenda inilah berbagai kelompok riset memperdebatkan ruang kantor untuk para mahasiswa riset dan periset tamu yang membutuhkan meja selama beberapa minggu dan ruang laboratorium untuk eksperimen mereka. Tapi begitu kepala departemen sampai pada poin tersebut dan mengatakan sesuatu misalnya “Nah sekarang kita sampai ke bahasan Ruang—”, biasanya seseorang bergumam, “—batas final”. Anda pikir fisikawan tak punya selera humor!

Kita semua merasa tahu apa arti ‘ruang’, entah itu ruang dalam pengertian ‘ada ruang kosong tersisa di pojok itu’ atau ‘tidak ada cukup ruang untuk mengayunkan seekor kucing’, atau ruang dalam pengertian keranekaragaman batas final ‘ruang angkasa’. Saat dipaksa untuk memikirkannya, kita akan menganggap ruang hanyalah tempat untuk menaruh sesuatu. Ruang sendiri bukanlah zat. Sampai di sini kita semua pasti sependapat. Tapi kalau begitu, dapatkah ruang eksis bilamana tidak mengandung materi apapun? Pikirkan sebuah kotak kosong. Sekalipun kita memompa keluar semua molekul udara yang dikandungnya hingga betul-betul tak ada apapun di dalam kotak, kita akan tetap puas dengan konsep bahwa ruang masih terus eksis. Ruang hanya merujuk pada volume kotak.

Adalah kurang bisa dipahami bila ruang tidak mempunyai batas. Ruang di dalam kotak hanya eksis, kita pikir, berkat eksistensi kotak itu sendiri. Bagaimana jika kita menyingkirkan tutup dan dinding kotak? Apakah ruang masih eksis? Tentu saja. Tapi kini ia adalah kawasan ruang yang menjadi bagian dari kawasan lebih besar di dalam ruangan kita berada. Mari kita coba sesuatu yang sedikit lebih besar: Alam Semesta kita pada dasarnya adalah volume ruang amat besar (mungkin tak terhingga) yang mengandung materi (galaksi, bintang, nebula, planet, dan lain-lain). Bagaimana jika Alam Semesta betul-betul hampa dan tak mengandung materi sama sekali? Masih adakah ia? Jawabannya ya, karena ruang tidak harus mengandung materi untuk eksis. Pada titik ini, pembahasan dapat dengan mudah terjun—karena saya mengerjakan semua pembahasan, dan saya tahu seperti apa saat memulai—ke dalam subjek amat teknis dan samar (tapi banyak diperdebatkan) yang dikenal sebagai prinsip Mach. Prinsip ini menyatakan bahwa ruang, atau setidaknya jarak dan arah di dalamnya, tidaklah bermakna bila tidak mengandung materi apapun. Di samping ini, Einstein telah menunjukkan dalam teori relativitasnya bahwa ruang, seperti halnya waktu, juga relatif. Namun, saya tak ingin terlalu berat di tahap awal buku ini dan akan berasumsi bahwa walaupun ruang bukanlah zat, ia pasti berupa sesuatu!

Tapi jika ruang bukan zat, dapatkah kita berinteraksi dengannya? Dapatkah materi mempengaruhinya dengan suatu cara? Ternyata materi memang dapat mempengaruhi ruang: ia dapat menekuknya! Sekali memahami fakta ini, semestinya Anda takkan pernah lagi terkesan oleh klaim-klaim penekukan pisau atau sendok dengan kekuatan pikiran (trik sulap murahan dan agak tak berarti).

Di bab berikutnya, saya akan meminta Anda membayangkan menekuk ruang 3D.[1] Mungkin Anda berpikir, saya dapat dengan mudah menekuk objek 3D seperti buku ini. Well, tidak sesederhana itu. Yang saya maksud bukan objek 3D ditekuk di dalam ruang 3D melainkan menekuk ruang 3D itu sendiri.

Pikirkan lengkungan garis 1D yang membentuk huruf ‘S’. Kita perlu sehelai kertas 2D untuk menuliskan ‘S’ di atasnya. Kita katakan bentuk 1D tersebut tersimpan di dimensi lebih tinggi. Demikian pula, penekukan sehelai kertas mensyaratkan penggunaan ruang 3D kita jika ingin memvisualisasikannya. Jadi, untuk memahami apa yang dimaksud dengan menekuk ruang 3D, kita harus membayangkan ruang 4D yang di dalamnya ia bisa ditekuk.

Gambar 1.2. (a) Sebuah persegi (bentuk 2D) digambar di ruang flat 2D, (b, c) persegi bisa ditekuk atau diubah bentuk di dalam ruang flat 2D, atau (d) ruang 2D itu sendiri melengkung.
Gambar 1.2. (a) Sebuah persegi (bentuk 2D) digambar di ruang flat 2D, (b, c) persegi bisa ditekuk atau diubah bentuk di dalam ruang flat 2D, atau (d) ruang 2D itu sendiri melengkung.

Bila Anda masih sedikit bingung dengan perbedaan antara menekuk objek padat di ruang dan menekuk ruang itu sendiri, berikut adalah contoh sederhana dalam 2D. Buat gambar segiempat di atas sehelai kertas (gambar 1.2(a)). Segiempat tersebut bisa ditekuk di dalam permukaan 2D (kertas) untuk membentuk sebuah bentuk lain. Contoh, bayangkan menekan dua sudut berseberangan sehingga membentuk wajik, sebagaimana pada gambar 1.2(b), atau garis-garis bisa digambar ulang secara melengkung sebagaimana pada gambar 1.2(c). Ini sungguh berbeda dengan menekuk helai kertas itu sendiri (gambar 1.2(d)). Nah, segiempat terlihat tertekuk bagi kita walaupun kita belum menggambar ulangnya; justru ruang di mana segiempat itu berada yang tertekuk.

Dunia2D dan penghuni dunia2D

Karena mustahil untuk membayangkan dimensi lebih tinggi yang ke dalamnya kita bisa melengkungkan dunia 3D kita, saya akan memakai trik berguna. Kita cukupkan diri dengan salah satu dimensi ruang kita, katakanlah dimensi kedalaman, dan kemudian kita bisa mengurus dunia 2D imajiner (mari kita tegas dan orisinil dan menyebutnya dunia2D). Dunia flat dua-dimensi semacam itu telah dibahas oleh banyak penulis selama bertahun-tahun dan diberi berbagai julukan, mulai dari Flatland sampai Planiverse. Penghuni alam semesta demikian berbentuk flat, makhluk kertas yang dibatasi untuk bergerak ‘di dalam’ permukaan bukan ‘di atas’ permukaan. Mereka bisa bergerak ke atas/ke bawah dan ke kiri/ke kanan tapi tidak bisa bergerak ke luar permukaan sebab itu mensyaratkan gerakan ke dimensi ketiga yang mana mustahil bagi mereka. Nah, dimensi keempat ilusif yang mustahil dipahami oleh kita makhluk 3D (tapi kita perlukan untuk memvisualisasikan lengkungan ruang 3D kita) adalah ekuivalen dengan dimensi ketiga bagi penghuni dunia2D. Kita punya akses ke dimensi ketiga ini sekalipun penghuni dunia2D tidak bisa.

Gambar 1.3. Makhluk dua-dimensi yang tinggal di dunia2D bebas bergerak ke atas/ke bawah dan ke kiri/ke kanan, tapi tak punya akses ke dimensi ketiga yang akan melibatkan gerakan keluar kertas.
Gambar 1.3. Makhluk dua-dimensi yang tinggal di dunia2D bebas bergerak ke atas/ke bawah dan ke kiri/ke kanan, tapi tak punya akses ke dimensi ketiga yang akan melibatkan gerakan keluar kertas.

Seperti apakah alam semesta 2D semacam itu? Sebagai permulaan, penghuninya merasa sulit membayangkan dimensi ketiga, sebagaimana kita kesulitan berusaha membayangkan dimensi keempat. Pada gambar 1.3 terdapat dua makhluk 2D. Sungguh menarik memikirkan bagaimana mereka menjalankan fungsi dasar. Contoh, mata mereka harus punya kebebasan untuk mondar-mandir dari sisi ke sisi agar bisa melihat ke kedua arah. Seandainya tidak demikian, dan mata mereka terpaku di salah satu sisi kepala, maka, walaupun mereka mempunyai keuntungan untuk bisa melihat ke kedua arah pada waktu bersamaan, mereka akan kehilangan keterampilan vital. Mampu menatap objek yang sama dengan kedua mata memungkinkan mereka, sebagaimana kita, untuk menilai seberapa jauh objek tersebut. Namun, jika kedua mata berada di sisi kepala yang sama, mereka tidak akan bisa melihat ke belakang, kecuali kalau mereka berdiri terbalik! Ini lantaran mereka tidak bisa memutar kepala mereka, sebuah keterampilan yang memerlukan akses ke dimensi ketiga. Kedua persoalan ini dapat diatasi jika mata mereka bebas mondar-mandir sebagaimana telah saya lukiskan.

Gambar 1.4. Satu-satunya cara agar penghuni 2D dapat melewati satu sama lain. Mereka tak bisa saling meminggir sebab itu mengharuskan salah satu dari mereka bergerak keluar kertas.
Gambar 1.4. Satu-satunya cara agar penghuni 2D dapat melewati satu sama lain. Mereka tak bisa saling meminggir sebab itu mengharuskan salah satu dari mereka bergerak keluar kertas.

Persoalan lain yang akan mereka jumpai bisa juga disimak dari gambar 1.3. Bagaimana penghuni dunia2D yang menuruni anak tangga melewati penghuni yang sedang menggali lubang? Dia tak bisa meminggir darinya sebab itu membutuhkan gerakan ke luar bidang (ke luar alam semesta mereka) yang mana tidak diperbolehkan. Barangkali mereka mempunyai semacam persetujuan di mana penghuni kiri harus memberi jalan kepada penghuni kanan sebagaimana pada gambar 1.4. Atau mungkin terdapat semacam persetujuan di mana seorang penghuni dunia2D harus selalu memberi jalan kepada penghuni lain yang lebih tinggi dalam jenjang sosial.

Aspek paling menarik dari dunia2D adalah apa yang dapat dilihat oleh penghuni dunia2D ketika menatap objek di dunia mereka. Pertama-tama, izinkan saya mengingatkan Anda tentang yang kita lihat ketika menatap objek padat seperti bola. Yang kita ‘lihat’ sebetulnya adalah citra 2D pada retina mata, yang amat penting untuk persepsi kedalaman. Dengan satu mata tertutup pun kita tahu bahwa yang sedang kita tatap adalah objek padat tiga-dimensi bukan objek flat dua-dimensi, seperti cakram, berkat cara cahaya yang menyoroti bola menyediakan shading. Tanpa ini pun, kita tahu dari pengalaman seperti apa itu bola dan bagaimana ia berperilaku. Jadi, saat kita menonton pertandingan sepakbola di televisi, kita tahu objek sirkuler yang sedang ditendang tersebut adalah bola sepak tiga-dimensi dan bukan cakram flat mirip bola dan menggelinding pada tepinya. Kita mengetahui ini meski tidak bisa melihat shading apapun di bagian bawah bola dan meski gambar televisi itu sendiri merupakan proyeksi 2D dari realitas 3D.

Saat kita menatap objek 3D, kita hanya melihat permukaan dua-dimensi yang menghadap kita. Otak kita lalu memperhitungkan pengalaman masa lalu dengan objek tersebut, ditambah cara cahaya berinteraksi dengan permukaannya, untuk membangun sebuah model bentuk tiga-dimensi dalam pikiran kita sekalipun kita tidak bisa melihat bagian belakangnya. Bagaimana ini menyamai apa yang dilihat penghuni dunia2D? Bola mereka adalah lingkaran. Saat penghuni dunia2D menatap lingkaran, dia akan menatapnya ‘antar tepi’ dan karenanya hanya akan melihat setengah kelilingnya. Pada ‘retina’-nya dia akan melihat citra satu-dimensi: garis lurus. Lagi-lagi, dia harus mengandalkan shading untuk melihat lengkungan garis dan harus merotasi lingkaran untuk yakin bahwa garis tersebut membelok sepenuhnya. Jika lingkaran itu sedang diterangi dari atas, katakanlah dari matahari dua-dimensi di atas kepala, maka bagian atas garis yang dia lihat akan lebih terang daripada bagian bawah yang membentuk bagian bawah lingkaran. Jadi, cara lingkaran terlihat oleh penghuni dunia2D tidaklah sama dengan kita sebab mereka takkan pernah bisa melihat bagian dalamnya. Dari titik menguntungkan untuk memandang dunia2D, kita bisa menatap bagian dalam semua objek, bukan cuma lingkaran tapi juga tubuh penghuni dunia2D. Semua organ dalam mereka akan terlihat oleh kita, memberi pengertian baru pada istilah ‘pembedahan jantung’. Mustahil bagi penghuni dunia2D untuk melihat bagian lingkaran tertutup di dunia mereka, sebagaimana mustahil bagi kita untuk melihat bagian dalam bola cekung.

Bayangkan kita menemukan dunia2D di suatu tempat di alam semesta kita. Pada prinsipnya, jika ia flat maka semestinya ia memanjang terus seperti tilam besar tak terhingga yang mengiris tiga dimensi ruang kita. Tapi mari kita bayangkan ia mempunyai ukuran terhingga dan kita menemukannya di suatu tempat. Saya tak peduli di mana saja: di bawah ranjang Anda, di belakang sofa Anda, atau di loteng nenek Anda. Saya akan berasumsi bahwa kita mampu berkomunikasi dengan penghuni dunia2D.[2] Kita saksikan adegan pada gambar 1.5(a) sebagai upaya penghuni dunia2D untuk memindahkan sebuah objek dari dalam segiempat. Dia bahkan tidak bisa melihat objek tersebut dan tidak mampu menggapainya tanpa membuka segiempat. Bagi kita, objek itu tak hanya terlihat, tapi kita juga bisa, kalau mau, menggapai dunia2D dan merenggutnya dari dua dimensinya kemudian menempatkannya kembali ke dalam dunia2D di luar segiempat (gambar 1.5(b)). Kita dapat melakukan ini sebab kita punya akses ke dimensi ketiga.

Gambar 1.5. (a) Seorang penghuni 2D tidak bisa menemukan cara mengambil mahkota di dalam kotak tanpa merusaknya dan menyalakan alarm. (b) Kita dapat membantu sang pencuri dengan merenggut mahkota keluar dunia2D, menuju dimensi ketiga, dan mengembalikannya ke atas kepala sang pencuri.
Gambar 1.5. (a) Seorang penghuni 2D tidak bisa menemukan cara mengambil mahkota di dalam kotak tanpa merusaknya dan menyalakan alarm. (b) Kita dapat membantu sang pencuri dengan merenggut mahkota keluar dunia2D, menuju dimensi ketiga, dan mengembalikannya ke atas kepala sang pencuri.

Setelah menakuti penghuni dunia2D hingga mempercayai kekuatan paranormal, dengan membuat sebuah objek muncul entah dari mana—sebuah objek yang baru beberapa detik sebelumnya terkunci di dalam segiempat tak tertembus—kita memutuskan memamerkan keajaiban ruang 3D dengan memperkenalkan bola kepada mereka dengan memasukkan bola kecil ke dalam dunia2D. Tentu saja, bola tersebut akan menyusup ke sisi lain asalkan tak ada objek 2D yang menghalangi. Penghuni dunia2D mula-mula akan melihat sebuah titik tumbuh menjadi garis yang memanjang lalu memendek sesaat sebelum menghilang. Dia menyimpulkan dari shading-nya bahwa garis itu adalah bagian keliling sebuah lingkaran sehingga dia sadar sedang menatap lingkaran yang bermula kecil, membesar, mencapai ukuran maksimum (saat bola sudah menembus separuh jalan), kemudian menyusut lagi ke ukuran nol begitu muncul di sisi lain dunia2D. Jadi, pada suatu momen tertentu, penghuni dunia2D hanya akan melihat potongan-lintang bola tersebut.

Ruang melengkung

Saya menyebutkan bahwa dunia2D imajiner ini tidak harus luas tak terhingga dan karenanya memiliki tepi, suatu batas yang menetapkan perbatasannya. Nanti kita akan menyimak bahwa alam semesta tak memiliki tepi sehingga dunia2D kiranya pasti memanjang terus. Ternyata ini hanya terjadi (yakni memanjang terus) jika dunia2D adalah flat, sebagaimana selama ini saya asumsikan. Bagaimana kalau penghuni dunia2D tinggal di permukaan bola? Ruang mereka kini melengkung dan tidak lagi berukuran tak terhingga. Bagaimanapun, bola mempunyai luas permukaan terhingga yang jelas-jelas tidak memiliki tepi sebab penghuni dunia2D bisa bergerak ke manapun di alam semesta ini tanpa pernah menjumpai titik yang tidak bisa dilalui. Konsep penting dan agak licin untuk dipahami di sini adalah bahwa walaupun dunia2D ini merupakan permukaan bola 3D, bagian dalam bola dan semua ruang di luar permukaan tak harus eksis sepanjang menyangkut penghuni dunia2D. Jadi, sedikit-banyak, analogi dengan manusia yang tinggal di permukaan Bumi tak mesti diambil terlalu serius sebab kita jelas-jelas adalah makhluk 3D yang terpaku di permukaan objek 3D. Penghuni dunia 2D hanya mempunyai akses ke permukaan 2D. Interior bola bahkan tidak eksis bagi mereka.

Pertanyaan menarik yang ingin saya ajukan berikutnya adalah apakah penghuni dunia2D tahu bahwa ruang mereka melengkung.

Cara mereka untuk mencaritahu adalah cara yang kita pakai untuk membuktikan Bumi tidak flat: memberangkatkan seseorang ke satu arah dan akhirnya kembali ke titik tolak dari arah berlawanan setelah mengelilingi bola. Tentu saja kita sekarang rutin mengirim astronot ke orbit yang bisa menoleh ke belakang dan melihat bahwa Bumi itu bundar, tapi penghuni alam semesta 2D terpenjara di permukaan dan tak bisa bergerak ke atas dunia mereka untuk melihat ke bawah. Ada cara lain agar mereka dapat mengecek apakah dunia mereka melengkung.

Kita belajar di sekolah bahwa jika kita menambahkan nilai tiga sudut interior suatu segitiga hasilnya selalu 180 derajat. Tak peduli seberapa besar atau kecil segitiga yang kita gambar atau bagaimana bentuknya, jawabannya akan selalu sama. Jika ia adalah segitiga siku-siku, maka dua sudut lain pasti berjumlah 90 derajat pula. Jika salah satu sudutnya tumpul dengan besaran, katakanlah, 160 derajat, maka dua sudut lain pasti berjumlah 20 derajat, dan seterusnya. Tapi sebelum Anda terlalu berpuas diri usai mengatasi sedikit geometri ini dengan nyaman, perkenankan saya merusak semuanya dengan menyatakan bahwa urusan sudut segitiga yang selalu berjumlah 180 derajat ini hanya berlaku jika segitiganya digambar di atas permukaan flat! Segitiga yang digambar di atas bola mempunyai sudut yang selalu berjumlah lebih dari 180 derajat. Berikut adalah contoh sederhana yang mendemonstrasikan maksud saya. Untuk membantu Anda memahaminya, Anda perlu sebuah bola dan pena berujung wol.

Bayangkan seorang penjelajah memulai perjalanan di Kutub Utara. Dia berangkat dalam garis lurus menuju Selatan (saat Anda berada di Kutub Utara, satu-satunya arah yang dapat Anda tuju adalah selatan) melintasi ujung timur Kanada lalu menuruni Atlantik barat. Dia, tentu saja, berhati-hati menghindari Segitiga Bermuda sebab mempercayai semua omong-kosong takhayul itu. Dia terus menuju selatan sampai mencapai khatulistiwa di suatu tempat di Brazil utara. Saat berada di khatulistiwa, dia berbelok ke kiri dan menuju Timur menyeberangi Atlantik, kini bergerak dalam garis lurus sepanjang khatulistiwa. Dia mencapai pantai Afrika dan meneruskan ke Kenya. Pada waktu sampai di sana dia mengalami iklim cukup panas dan lembab dan memutuskan untuk berbelok ke kiri, menuju Utara lagi. Dia melintasi Ethiopia, Arab Saudi, Timur Tengah, melewati Eropa Timur dan kembali ke Kutub Utara.

Gambar 1.6. (a) Segitiga yang tergambar pada sehelai kertas flat memiliki sudut-sudut-sudut interior A + B + C = 1800. (b) Segitiga yang tergambar pada permukaan bola memiliki sudut-sudut yang berjumlah lebih dari 1800. Di sini digambar sebuah segitiga yang terdiri dari tiga sudut 900.
Gambar 1.6. (a) Segitiga yang tergambar pada sehelai kertas flat memiliki sudut-sudut-sudut interior A + B + C = 1800. (b) Segitiga yang tergambar pada permukaan bola memiliki sudut-sudut yang berjumlah lebih dari 1800. Di sini digambar sebuah segitiga yang terdiri dari tiga sudut 900.

Jika Anda membuat jejak kasar rutenya, Anda akan melihat bahwa dia telah menyelesaikan sebuah segitiga (gambar 1.6(b)). Amati secara teliti tiga sudutnya. Pada waktu mencapai khatulistiwa dan berbelok ke kiri, dia membuat sudut siku-siku (90 derajat). Tapi saat akhirnya meninggalkan khatulistiwa untuk kembali menuju utara, dia membuat sudut siku-siku lainnya. Karenanya, dua sudut ini sudah berjumlah 180 derajat. Tapi kita belum mengikutsertakan sudut yang dia buat di Kutub Utara dengan dua garis lurus perjalanan keluar dan masuknya tersebut. Ini juga semestinya kurang-lebih menghasilkan sudut 90 derajat, walaupun tentu saja ukuran sudut ini tergantung pada seberapa jauh jarak yang dia tempuh sepanjang khatulistiwa. Saya telah memilih bahwa dia menjejaki segitiga dengan tiga sudut siku-siku berjumlah 270 derajat, dengan menghubungkan tiga garis lurus.

Segitiga semacam ini merupakan kasus istimewa tapi aturan dasarnya adalah bahwa segitiga apapun yang digambar di permukaan bola akan mempunyai sudut-sudut berjumlah lebih dari 180 derajat. Contoh, segitiga yang menghubungkan Paris, Roma dan Moskow akan mempunyai sudut-sudut yang berjumlah sedikit di atas 180 derajat. Penyimpangan kecil dari 180 derajat ini adalah karena segitiga demikian tidak meliputi sebagian kecil signifikan dari luas permukaan total Bumi dan karenanya hampir flat.

Kembali ke penghuni dunia2D, mereka bisa memakai teknik yang sama untuk mengecek apakah ruang mereka melengkung. Mereka berangkat dalam roket 2D dari planet induk mereka dalam garis lurus hingga mencapai bintang jauh. Di sana, mereka akan berbelok dengan suatu sudut tetap dan berangkat menuju bintang lain. Setelah berada di bintang kedua, mereka kembali ke rumah. Setelah menjejaki segitiga, mereka mengukur ketiga sudutnya. Jika hasilnya lebih dari 180 derajat[3], mereka dapat menyimpulkan bahwa mereka tinggal di ruang melengkung.

Atribut lain, yang mungkin Anda ingat dari sekolah, adalah keliling lingkaran ditentukan oleh pi kali diameternya. Harga pi, kita diberitahu, tidak dapat dirundingkan. Terdapat tombol pada sebagian besar kalkulator saku yang menetapkan pi sampai 10 angka desimal (3,1415926536), tapi kebanyakan kita mengingatnya 3,14. Oke, saya akui, saya hafal sampai 10 angka desimal yang ditunjukkan kalkulator, tapi itu hanya karena saya sering memakainya dalam pekerjaan, tak berbeda dengan mengingat sebuah nomor penting. Namun, saya punya seorang teman matematikawan yang menguasai pi sampai 30 angka desimal. Selain soal itu, dia sungguh normal. Kita diajari bahwa pi adalah konstanta matematis. Ia ditetapkan sebagai rasio dua bilangan: keliling dan diameter lingkaran di ruang flat. Jika penjelajah tadi mengelilingi Lingkar Arktik, mempunyai diameter yang bisa diukur secara akurat (yakni dua kali jarak dari Lingkar Arktik ke Kutub Utara), maka dia akan mendapatkan dalam perkalian harga diameter dengan pi (yakni cara untuk menentukan keliling lingkaran) sebuah harga yang sedikit lebih besar daripada keliling sejati Lingkar Arktik. Kelengkungan Bumi mengandung arti bahwa Lingkar Arktik lebih kecil daripada jika Bumi flat.

Atribut segitiga dan lingkaran yang kita pelajari di sekolah dikenal sebagai geometri Euclidean, atau ‘geometri flat’. Geometri 3D bola, kubus, dan piramida juga merupakan bagian geometri Euclidean jika mereka tersimpan di ruang 3D flat. Atribut mereka berubah jika ruang 3D-nya melengkung, serupa dengan perubahan atribut segitiga dan lingkaran saat digambar di atas ruang 2D melengkung semisal permukaan bola. Jadi, ruang 3D kita memang melengkung tapi kita tidak perlu memvisualisasikan dimensi keempat untuk ‘melihat’ kelengkungan ini. Kita dapat mengukurnya secara tak langsung dengan mempelajari geometri ruang 3D dan objek padat di dalamnya. Prakteknya, kita tak pernah melihat penyimpangan dari geometri Euclidean sebab kita hidup di sebuah bagian Alam Semesta di mana ruang hampir flat sekali sehingga kita tak pernah bisa mendeteksi kelengkungan apapun. Ini serupa dengan mencoba mendeteksi kelengkungan Bumi dengan menggambar segitiga di atas lapangan sepakbola. Tentu saja, lapangan bola tak sepenuhnya halus. Demikian halnya, ruang mengandung kawasan-kawasan lengkungan di sana-sini sebagaimana akan kita simak di bab berikutnya.

Bagaimana kalau dimensi ruang keempat memang eksis di samping tiga dimensi kita? Apa yang dapat kita katakan perihal atributnya? Cara terbaik dimulai dengan menjawab bahwa dimensi keempat bagi kita adalah layaknya dimensi ketiga bagi penghuni dunia2D. Bayangkan Anda sedang berdiri di pusat lingkaran besar yang digambar di atas tanah flat seperti lingkaran pusat sebuah pitch[4] futbol. Jika kini Anda berjalan dalam garis lurus ke suatu arah, Anda akan menuju garis keliling lingkaran. Ini disebut arah radial sebab saat Anda mencapai garis keliling, Anda telah berjalan sepanjang jari-jari lingkaran. Di sisi lain, seekor burung yang sedang bertengger di pusat lingkaran bisa bergerak sepanjang dimensi ketiga: ke atas. Jika ia terbang lurus ke atas, maka ia akan meninggalkan semua bagian lingkaran selamanya.

Nah, tambahkan dimensi lain pada contoh ini dan bayangkan burung berada di pusat sebuah bola (katakanlah sangkar bundar). Ke arah manapun si burung terbang, ia akan bergerak menuju jeruji sangkar, dan semua arah baginya kini radial. Sebagaimana dalam contoh lingkaran 2D di mana burung bisa bergerak sepanjang dimensi ketiga meninggalkan lingkaran, kini kita dapat memahami apa artinya bergerak sepanjang dimensi keempat. Mulai dari pusat sangkar, itulah arah ke mana si burung harus terbang demi meninggalkan semua titik dalam sangkar pada waktu bersamaan! Ini bukan arah yang bisa kita visualisasikan, sebab, sebagaimana sudah saya sebutkan, otak kita hanya tiga-dimensi. Jadi apa yang akan kita lihat jika seekor burung ajaib, yang mampu memanfaatkan dimensi keempat, terperangkap dalam sangkar? Kita akan melihatnya lenyap dari pandangan dan kemudian bergabung kembali dengan ruang 3D kita di suatu tempat lain, barangkali di luar sangkar. Itu akan terlihat mengherankan bagi kita sebagaimana herannya penghuni dunia2D terhadap keterampilan 3D kita merenggut objek dari ruang 2D mereka.

Efek menarik lain dari pemanfaatan dimensi lebih tinggi adalah yang terjadi saat objek terbalik. Bayangkan Anda mampu mengangkat penghuni dunia2D dari dunianya, membaliknya sehingga sisi kiri dan kanannya bertukar, kemudian menaruhnya kembali. Untuk sejenak, segala sesuatu akan cukup membingungkan baginya. Dia takkan merasa berbeda kecuali bahwa segala sesuatu di sekelilingnya berada di sisi yang salah. Dia harus menyesuaikan diri dengan kehidupan di sebuah dunia di mana matahari 2D tak lagi terbit dari kanan sebagaimana biasanya, melainkan dari kiri. Dan kini dia harus berjalan ke arah berlawanan untuk pergi kerja dari rumahnya.

Keadaan akan lebih lucu jika Anda mempertimbangkan apa jadinya jika seorang makhluk 4D merenggut Anda dari dunia 3D kita dan membalik Anda. Sebagai permulaan, orang-orang akan melihat sesuatu yang sedikit berbeda dari penampilan Anda karena bagi mereka wajah Anda kini terlihat seperti saat Anda bercermin. Ketika kemudian memandang cermin, Anda juga akan melihat perbedaan. Sebab tak ada wajah yang simetris. Sisi kiri wajah kita berbeda dari sisi kanan. Mungkin mata yang satu sedikit lebih rendah daripada mata yang lain atau, seperti saya, hidung Anda sedikit bengkok ke satu sisi, atau Anda mempunyai tahi lalat di satu pipi, dan sebagainya. Tapi ini baru permulaan masalah. Segala sesuatu di sekeliling Anda terlihat terbalik antara belakang dan depan. Semua tulisan akan terbalik, jarum jam akan berputar berlawanan dan Anda sekarang akan bertangan kidal jika sebelumnya bertangan kanan. Satu cara untuk menguji keadaan adalah Anda berkeliling sambil melihat dunia lewat cermin. Perlu beberapa waktu sebelum Anda berhenti bertubrukan dengan segala sesuatu.

Betulkah ada dimensi keempat?

Jika Anda sudah tahu sedikit tentang teori relativitas Einstein (saya berasumsi tidak) maka Anda mungkin juga sedikit khawatir pada poin ini. Bagaimanapun, tidakkah Einstein bilang sesuatu soal waktu sebagai dimensi keempat? Di Bab 6 saya akan mengupas teori relativitas khusus Einstein di mana waktu dan ruang dihubungkan secara mengejutkan sekali, menjadi apa yang disebut ruangwaktu empat-dimensi. Untuk sekarang, kita dapat memahaminya dengan cara sederhana berikut. Kembali ke contoh kapal selam yang membutuhkan tiga bilangan untuk menetapkan posisinya. Jika ia sedang bergerak, penyebutan bilangan-bilangan itu tidaklah berarti kecuali kalau kita juga menyatakan kapan kapal selam berada di posisi tersebut. Jadi sekarang kita butuh empat bilangan untuk menemukan lokasinya secara tepat: garis lintang, garis bujur, kedalaman, dan waktu ketika ia memikul harga-harga ini. Namun, kita tak boleh alpa akan fakta bahwa waktu tidaklah sama dengan ketiga dimensi ruang. Kita bebas bergerak ke depan dan ke belakang sepanjang salah satu dari tiga sumbu ruang, tapi dibatasi untuk bergerak ke depan saja sepanjang sumbu waktu (dari masa lalu ke masa depan). Pertanyaannya di sini adalah apakah mungkin eksis dimensi ruang keempat, tak terjangkau indera kita.

Seratusan tahun lalu, beberapa ilmuwan paling dihormati di dunia percaya bahwa dunia roh, alam hantu dan siluman, adalah empat dimensi dan ruang 3D kita tercakup di dalamnya. Penghuni dunia dimensi lebih tinggi ini adakalanya melewati dunia 3D kita tapi tidak terlihat oleh kita. Di zaman sekarang tentu saja hampir tidak ada ilmuwan serius (maksud saya tidak memperhitungkan persuasi campuran) yang mempercayai ini. Bukan berarti dimensi lebih tinggi dikesampingkan. Nyatanya, beberapa teori baru dalam fisika, tapi belum teruji, mengindikasikan bahkan mungkin ada lebih dari empat dimensi ruang, yang semuanya di luar pemahaman kita. Dua teori yang saat ini sedang digemari, dikenal sebagai teori superstring dan teori-M[5], mengindikasikan Alam Semesta kita sesungguhnya mengandung sembilan (menurut teori superstring), dan sepuluh (menurut teori-M), dimensi ruang (plus satu dimensi waktu). Tapi semua dimensi tambahan yang tak diinginkan itu tergulung begitu kecil sehingga kita tak pernah bisa mendeteksi mereka. Mungkin Anda mengira ini cuma omong-kosong, tapi faktanya salah satu dari teori eksotis ini boleh jadi merupakan teori yang menggambarkan realitas pokok Alam Semesta kita.

Sungguhpun kesemua tiga dimensi ruang yang kita kenal ada di hadapan kita, akan kita simak di beberapa bab berikutnya bahwa bermanfaat sekali mencadangkan dimensi tambahan untuk membantu kita memahami aspek tertentu teori relativitas Einstein: ruang melengkung.

Catatan kaki:

  1. Untuk lebih akurat, setiap kali saya membahas penekukan ruang 3D, semestinya saya mengatakan penekukan ‘ruangwaktu’ 4D. Teori relativitas Einstein mengatakan kita harus menyebut kombinasi tiga dimensi ruang dengan satu dimensi waktu sebagai demikian. Namun, untuk sementara ini, saya akan menunda pembahasan bagaimana ruang dan waktu dicampur sampai saatnya nanti dalam buku ini.
  2. Saya berasumsi kita mampu berbicara dengan dan didengar oleh mereka. Suara ditransmisikan melalui vibrasi molekul-molekul udara 3D kita. Vibrasi ini akan ditransfer ke molekul 2D di dunia2D. Semua ini tentu saja sama sekali omong-kosong, tapi menyenangkan untuk dipikirkan.
  3. Permukaan bisa dilengkungkan dengan cara lain agar segitiga yang digambar di atasnya mempunyai sudut-sudut berjumlah kurang dari 180 derajat, tapi saya akan menjelaskannya nanti.
  4. Titik tertentu di mana bola menyentuh tanah.
  5. ‘M’ adalah singkatan dari membran, tapi teori membran merupakan nama yang begitu membosankan sehingga banyak fisikawan lebih menyukainya sebagai singkatan dari magic sebab mereka mengklaim bahwa teori ini sanggup menjelaskan semua gaya alam.
Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s