Oleh: Kevin Hartnett
13 Januari 2015
Sumber: Quanta Magazine

Pertanyaannya seolah sederhana: jika menimbang ruang geometris—bola atau torus mirip donat—dapatkah kita membelahnya ke dalam potongan lebih kecil? Dalam kasus permukaan dua-dimensi bola, jawabannya jelas ya. Siapapun bisa mengubinkan mosaik segitiga pada permukaan dua-dimensi apa saja. Demikian pula, ruang tiga-dimensi apapun dapat disayat-sayat menjadi sejumlah piramida.

Setiap permukaan dua-dimensi dapat diubinkan dengan mosaik segitiga. Tapi ruang dimensi lebih tinggi tidak selalu bisa “ditriangulasi” dengan cara ini.
(Glen Faught)

Tapi bagaimana dengan ruang-ruang di dimensi lebih tinggi? Matematikawan sudah lama tertarik pada atribut umum ruang-ruang abstrak, atau manifold, yang eksis di setiap dimensi. Dapatkah setiap manifold empat-dimensi bertahan terhadap pengirisan menjadi satuan-satuan lebih kecil? Bagaimana dengan manifold lima-dimensi, atau manifold banyak dimensi?

Pensubbagian ruang dengan cara ini, proses yang dikenal sebagai triangulasi, adalah alat dasar yang dapat dipakai oleh ahli topologi untuk menyisir atribut-atribut manifold. Dan penaksiran triangulasi, yang berusul bahwa semua manifold dapat ditriangulasi, merupakan salah satu persoalan paling terkenal dalam topologi.

Ciprian Manolescu menyadari penelitian dari masa kuliahnya dapat dipakai untuk memecahkan sebuah persoalan berumur seabad.
(Reed Hutchinson/UCLA)

Ciprian Manolescu ingat, dirinya mendengar tentang penaksiran triangulasi untuk pertama kalinya ketika berstatus mahasiswa pascasarjana di Universitas Harvard awal 2000-an. Walau Manolescu dianggap fenomena pada saat memasuki Harvard sebagai mahasiswa prasarjana—dia terkenal sebagai satu-satunya orang, kala itu atau sejak saat itu, yang mencatat tiga angka sempurna berturut-turut dalam Olimpiade Matematika Internasional—usaha pembuktian sebuah penaksiran berumur seabad bukanlah jenis proyek yang diambil mahasiswa bijak untuk tesis doktoral. Manolescu menulis sebuah disertasi yang sangat diakui tentang topik terpisah, yakni homologi Floer, dan menghabiskan sebagian besar dari dekade pertama karir profesionalnya dengan memberi sedikit pemikiran pada penaksiran triangulasi. “Kedengarannya seperti persoalan yang tak dapat didekati, jadi saya tidak memberi banyak perhatian,” tulisnya baru-baru ini dalam surel.

Tapi orang lain tetap mengerjakan persoalan ini, mencakar-cakar ke arah solusi yang masih jauh dari jangkauan. Lalu pada akhir 2012, Manolescu, kali ini profesor di Universitas California, Los Angeles, memperoleh kesadaran tak terduga: teori yang dia bangun dalam tesis delapan tahun sebelumnya adalah persis apa yang dibutuhkan untuk membersihkan rintangan terakhir yang telah menjegal setiap upaya terdahulu untuk menjawab penaksiran ini.

Berlandaskan wawasan ini, Manolescu segera membuktikan tidak semua manifold dapat ditriangulasi. Dengan berbuat itu, dia bukan saja mengangkat dirinya ke puncak bidangnya, tapi juga menciptakan alat berpotensi besar untuk menjawab persoalan-persoalan bandel lain dalam topologi.

Sayatan Sempurna

Polimatik Prancis abad 19 Henri Poincaré termasuk matematikawan pertama yang memikirkan manifold sebagai kombinasi keping-keping sederhana yang direkatkan. Sebagai contoh, bola dua-dimensi (artinya permukaan bola padat/berisi) dapat dihampiri dengan merekatkan segitiga-segitiga dua-dimensi, dan bola tiga-dimensi dapat dihampiri dengan merekatkan tetrahedron-tetrahedron tiga-dimensi. Segitiga dan tetrahedron adalah contoh bentuk-bentuk lebih umum yang disebut simpleks, yang dapat ditetapkan di dimensi berapapun.

Triangulasi manifold berguna dalam sejumlah hal. Triangulasi menawarkan cara konkret untuk memvisualisasi ruang yang sulit dilihat. Ia juga menyediakan titik tolak bagi peneliti untuk mengkomputasi alat matematika penting bernama invarian.

Matematikawan memakai invarian untuk menentukan apakah dua ruang pada hakikatnya ekuivalen. Jika Anda mengkomputasi invarian dua manifold dan memperoleh hasil tak sama, berarti manifold-manifold tersebut berbeda secara topologis. (Kebalikannya tidak selalu benar—dua manifold berbeda boleh jadi berbagi invarian yang sama.)

Cara sederhana untuk memahami ini adalah mengkomputasi invarian yang dinamakan karakteristik Euler. Untuk menemukan karakteristik Euler sebuah permukaan dua-dimensi, pertama-tama bagi ia menjadi sejumlah poligon. Lantas hitung jumlah verteksnya, kurangi jumlah tepinya, dan tambahkan jumlah mukanya. Bilangan bulat yang dihasilkan akan tetap sama tak peduli seberapa banyak poligon yang Anda pakai untuk mentriangulasi manifold. Karakteristik Euler sebuah bola adalah 2; untuk torus adalah 0. Di dua dimensi, dua manifold berkarakteristik Euler sama adalah ekuivalen secara topologis.

“Invarian” adalah alat yang dipakai matematikawan untuk membandingkan ruang-ruang, atau manifold-manifold. Salah satu contoh terkenal adalah karakteristik Euler, ditunjukkan di sini. Untuk mengkalkulasi karakteristik Euler manifold dua-dimensi, pertama-tama potong manifold menjadi poligon-poligon (di sini kita gunakan segitiga). Selanjutnya, tambahkan jumlah muka pada jumlah verteks dan jumlah tepi. Setiap bola akan memiliki karakteristik Euler 2, tak peduli bagaimana manifold ini dipotong-potong.
(Olena Shmahalo/Quanta Magazine. Sumber: Geodesic Spheres)

Manifold-manifold di dimensi lebih tinggi juga memiliki karakteristik Euler, tapi di sana keadaan tidak berjalan rapi. Di tiga dimensi, contohnya, ada banyak manifold khas berkarakteristik Euler tertentu. Meski demikian, triangulasi tetap alat berguna, yang secara alami melahirkan pertanyaan: bisakah semua manifold, di dimensi berapapun, ditriangulasi?

Pertanyaan ini pertama kali diajukan di awal abad 20, dan jawaban afirmatifnya kemudian dikenal sebagai penaksiran triangulasi. Mulanya matematikawan beranggapan penaksiran triangulasi pasti benar, dan pada 1950-an mereka membuktikan itu berlaku untuk semua manifold di dimensi kesatu, kedua, dan ketiga. Namun seiring perjalanan abad 20, matematikawan menemukan bahwa ruang-ruang dimensi tinggi tidak mempunyai banyak atribut manis manifold dimensi rendah. Ini membuat mereka curiga penaksiran triangulasi kemungkinan besar tidak berlaku di dimensi lebih tinggi, meskipun tak ada yang bisa menyanggahnya dengan bukti.

Ide bahwa terdapat ruang yang tak bisa dibagi ke dalam satuan-satuan lebih kecil terasa kontraintuitif. Tapi cara membayangkannya adalah menaruh segitiga-segitiga pada [permukaan] bola dua-dimensi, hingga seluruhnya tertutupi. Dalam kasus sederhana ini pun, tidak jelas bagaimana menyambung segitiga-segitiga terakhir dengan segitiga-segitiga awal. Perencanaan cermat adalah kuncinya. Jika kita tambah lebih banyak dimensi pada skenario, maka masalah pencocokan simpleks-simpleks pertama dengan simpleks-simpleks terakhir menjadi semakin rumit.

Pada 1982, Michael Freedman, kala itu di Universitas California, San Diego, mengkonstruksi manifold empat-dimensi yang tidak memperkenankan triangulasi alami, sebuah prestasi yang membantunya meraih Fields Medal. Beberapa tahun kemudian, Andrew Casson dari Universitas Yale membuktikan manifold-manifold ini tidak bisa ditriangulasi sama sekali. Tapi penelitian Freedman dan Casson tidak mengungkap apakah triangulasi memungkinkan untuk semua manifold di lima dimensi atau lebih. Jawabannya harus menunggu tiga dasawarsa berikutnya, ketika Manolescu mendalami teka-teki ini.

Sandungan Empat-Dimensi

Manolescu berspesialisasi dalam topologi dimensi rendah. Artinya dia mengerjakan persoalan manifold tiga dan empat dimensi. Pertanyaan “apakah manifold di lima dimensi atau lebih dapat ditriangulasi” berada di luar bidang keahliannya. Tapi pada 1970-an tiga matematikawan membuktikan, memecahkan penaksiran triangulasi di dimensi tinggi sama dengan menjawab pertanyaan berbeda di dimensi rendah. Alihragam satu pertanyaan ke dalam satu pertanyaan lain ini lazim dalam matematika dan seringkali dapat menyediakan perspektif baru terhadap situasi bandel. Pada 1994, ketika membuktikan Teorema Terakhir Fermat, yang Andrew Wiles pecahkan sebetulnya adalah persoalan berbeda, kasus semi-stabil penaksiran Taniyama-Shimura-Weil, yang sudah ditunjukkan mengandung isyarat bukti untuk persoalan Fermat.

Sama halnya, pada 1970-an, sepasang matematikawan di Institute for Advanced Study di Princeton, New Jersey, Ronald J. Stern dan David Galewski, dan matematikawan ketiga yang bekerja terpisah, Takao Matumoto, “mereduksi” penaksiran triangulasi dari persoalan di dimensi tinggi ke persoalan di dimensi rendah.

Untuk memahami bagaimana ini bekerja di tingkat konsep, pertama-tama bayangkan sebuah bola dua-dimensi dan segitiga-segitiga dua-dimensi yang perlu direkatkan untuk mentriangulasinya. Satu cara merekatkan segitiga-segitiga ini adalah memulai dari bagian dimensi tertinggi perbatasan mereka (tepi-tepi satu-dimensi mereka) dan bergerak ke bagian dimensi tertinggi berikutnya/di bawahnya (verteks-verteks nol-dimensi mereka).

Sekarang pertimbangkan, katakanlah, manifold tujuh dimensi. Anda akan butuh simpleks-simpleks tujuh-dimensi untuk mentriangulasinya. Untuk memulai, Anda dapat mengambil pendekatan yang tadi diterapkan pada segitiga, merekatkan bagian dimensi tertinggi perbatasan simpleks-simpleks ini (“tepi-tepi” enam-dimensi) dan terus turun dari sana.

Apa yang Galewski, Stern, dan Matumoto tunjukkan adalah bahwa proses perekatan ini mulanya berlangsung cukup lancar tapi tersandung di perbatasan antara dimensi empat dan tiga. Sandungan ini kurang-lebih sama dengan persoalan ruang topologis yang dikenal sebagai “bola-3 homologi”, yang terbentuk di perbatasan antara dimensi-dimensi ini. Dan penyelesaian persoalan ini menuntut invarian jenis baru, invarian yang akhirnya Manolescu temukan dalam penelitian homologi Floer-nya.

Keretakan Besar

Homologi Floer adalah satu set alat matematis yang dikembangkan pada 1980-an oleh Andreas Floer, matematikawan muda gemilang Jerman yang wafat pada 1991 di usia 34. Itu terbukti menjadi cara sukses untuk memikirkan manifold, dan kini lebih sebagai sub-bidang topologi ketimbang operasi khusus. Sejak Floer pertama kali mengusulkannya sebagai cara mengurus manifold tiga-dimensi, para matematikawan lain telah menciptakan lusinan varietas homologi Floer, masing-masing cocok untuk pemecahan berbagai jenis persoalan. Pada 1990-an, Peter Kronheimer, pembimbing disertasi Manolescu di Harvard, dan Tomasz Mrowka, ahli topologi di Massachusetts Institute of Technology, memadukan persamaan-persamaan dari fisika quantum dengan homologi Floer guna mengkonstruksi invarian ampuh manifold tiga-dimensi. Dalam disertasinya, Manolescu menciptakan versi sederhana teori mereka.

“Ciprian [menciptakan] cara sederhana dan kurang teknis untuk mendefinisikan homologi Floer ini, dan karena kurang teknis, itu memungkinkan Anda lebih kreatif,” kata Mrowka. “Anda tak usah menggotong kotak alat besar ini ke mana-mana untuk menyelesaikan pekerjaan.”

Manolescu mengubah homologi Floer menjadi instrumen lebih ringan dan lebih gesit dalam disertasinya, tapi dia, atau siapapun, tidak lantas yakin apa yang harus dilakukan dengannya. Jadi di situlah ia bertengger, sekeping karya mengesankan tanpa penerapan jelas.

Sementara itu, Casson dan matematikawan Norwegia Kim Frøyshov masing-masing menghasilkan invarian yang mengerjakan bagian tugas pemecahan penaksiran triangulasi. Tapi tak satupun dari kemajuan ini memadai secara mandiri. “Anda butuh dua atribut untuk invarian ini; Casson punya satu dan Frøyshov punya satu lagi,” kata Manolescu.

Manolescu mulai memikirkan upaya gagal Casson dan Frøyshov di akhir 2012, dan dia punya dua wawasan penting berturutan. Pertama, dia sadar keterbatasan utama invarian Frøyshov adalah itu tidak memanfaatkan kesimetrian jenis tertentu yang dikenal sebagai kesimetrian Pin(2). Selanjutnya, dia sadar penelitian homologi Floer miliknya delapan tahun sebelumnya sangat cocok untuk memasukkan kesimetrian ini ke dalam bukti.

“Ada dua ide saja [yang luput],” kata Manolescu. “Kalau ditinjau kembali, mereka tampak sederhana, tapi entah bagaimana mereka terluputkan.”

Begitu Manolescu memahami hubungan antara disertasinya dan penaksiran triangulasi, dia bergerak cepat. “Saya bergairah sekali, dan saya ingin menuliskannya secepat mungkin,” ungkapnya. “Saya bekerja siang-malam.” Memakan waktu sebulan untuknya menyusun pembuktian kesalahan penaksiran triangulasi secara utuh. Dia menciptakan invarian baru, yang dinamai “beta”, dan memakainya untuk menciptakan bukti berdasarkan kontradiksi (proof by contradiction). Begini cara kerjanya: sebagaimana sudah kita simak, penaksiran triangulasi sama dengan bertanya apakah terdapat bola-3 homologi berkarakteristik tertentu. Salah satu karakteristik adalah bola harus punya atribut tertentu—invarian Rokhlin 1. Manolescu menunjukkan, ketika bola-3 homologi memiliki invarian Rokhlin 1, harga beta harus ganjil. Pada saat yang sama, karakteristik-karakteristik penting lain mengharuskan beta genap. Karena beta tidak mungkin genap sekaligus ganjil, berarti bola-3 homologi yang satu ini tidak eksis. Dengan demikian penaksiran triangulasi salah.

Seperangkat Alat Baru

10 Maret 2013, Manolescu memposting pracetak makalahnya di tempat penyimpan daring arXiv.org; makalah ini sekarang sedang ditinjau di Journal of the American Mathematical Society. Stern menjuluki bukti milik Manolescu “temuan terbaik dalam dua tahun terakhir” dalam topologi empat-dimensi. Temuan ini telah memunculkan spekulasi bahwa Manolescu akan meraih Veblen Prize in Geometri, yang dianugerahkan setiap tiga tahun atas karya menonjol dalam geometri atau topologi. (Casson, Freedman, Kronheimer, dan Mrowka, semuanya adalah pemenang terdahulu.)

“Tak seorangpun, apalagi saya, berpikir tentang pemanfaatan versi homologi Floer tersebut untuk memecahkan persoalan,” kata Stern. “Potensinya merupakan pendekatan yang [Manolescu] ambil.” Stern mengimbuhkan, dirinya memiliki “daftar keinginan” informal berisi persoalan-persoalan yang ingin dia pecahkan, dan penaksiran triangulasi termasuk di dalamnya. “Saya ingin itu terpecahkan atau saya ingin tahu jawabannya,” katanya, “dan sekarang saya tahu jawabannya.”

Tapi konsekuensi bukti Manolescu yang lebih signifikan adalah caranya mengangkat versi homologi Floer miliknya. “Untuk alasan apapun,” kata Mrowka, “orang-orang belum mengenalinya sebanyak seharusnya.” Kini, dengan pembuktian kesalahan penaksiran triangulasi, matematikawan berdesakan untuk belajar bagaimana memanfaatkan alat ampuh Manolescu.

Saat ini para ahli topologi di California Institute of Technology dan Universitas Texas, Austin, sedang mengadakan seminar-seminar perihal tesis Manolescu. Mrowka mempunyai dua mahasiswa pascasarjana yang berusaha membuktikan temuan Manolescue lagi dan menyempurnakan metode-metodenya untuk kegunaan lain. Teknik-teknik Manolescu boleh jadi berguna untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan dalam topologi empat-dimensi dan sub-disiplin topologi penting lain. Tak ada yang tahu, berguna untuk apa persisnya nantinya.

“Rasanya sulit dipercaya bahwa memiliki invarian baru dan bagus bukan berarti memiliki aplikasi untuk masalah-masalah yang sudah beredar di bidang terkait,” kata Mrowka. “Tapi tentang apa? Entah. Untuk itulah ada penelitian.”

Koreksi: Akibat kesalahan penyuntingan, artikel versi terdahulu mengindikasikan bahwa upaya Andrew Casson untuk menciptakan invarian yang kelak membantu memecahkan penaksiran triangulasi berlangsung setelah Manulescu menyelesaikan Ph.D.-nya. Padahal, penelitiannya berlangsung sebelum itu. Artikel ini di direvisi pada 14 Januari 2015 untuk menghapus indikasi tersebut.

Advertisements

One thought on “Bukti Bahwa Ruang Tak Bisa Disayat

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s