Bilangan Aneh Ditemukan Dalam Benturan Partikel

Oleh: Kevin Hartnett
15 November 2016
Sumber: Quanta Magazine

Timbul hubungan tak terduga antara hasil-hasil eksperimen fisika dan sehimpunan bilangan penting dalam matematika murni yang secara zahir tak berkaitan.

Benturan partikel entah bagaimana tertaut dengan “motif” matematis.
(Xiaolin Zeng untuk Quanta Magazine)

Di Large Hadron Collider di Jenewa, fisikawan menembakkan proton-proton keliling lintasan 17 mil dan menabrakkan mereka pada hampir kecepatan cahaya. Itu salah satu eksperimen ilmiah paling disetel halus di dunia, tapi saat coba memahami puing quantum, fisikawan mengawali dengan alat sederhana bernama diagram Feynman yang tidak jauh beda dari cara anak kecil melukiskan situasi ini.

Diagram-diagram Feynman ditemukan oleh Richard Feynman pada 1940-an. Mereka menampilkan garis-garis yang mewakili partikel-partikel unsur yang berkonvergensi di satu verteks (mewakili benturan) dan kemudian berdivergensi dari situ untuk mewakili keping-keping yang timbul dari tabrakan. Garis-garis tersebut bertunas sendiri-sendiri atau berkonvergensi lagi. Rantai benturan ini bisa sepanjang mungkin, tergantung pada keberanian fisikawan.

Pada skema ini fisikawan lantas menambahkan bilangan, untuk massa, momentum, dan arah partikel. Kemudian mereka memulai prosedur pembukuan susah-payah—integralkan ini, tambahkan itu, kuadratkan ini. Hasil akhirnya berupa bilangan tunggal, disebut probabilitas Feynman, yang mengukur peluang bahwa benturan partikel akan berlangsung sebagaimana disketsakan.

“Dalam beberapa hal, Feyman menemukan diagram ini untuk menyandikan matematika rumit sebagai perangkat pembukuan,” kata Sergei Gukov, fisikawan teoritis dan matematikawan di California Institute of Technology.

Diagram Feynman telah membantu fisikawan selama bertahun-tahun, tapi mereka punya beberapa keterbatasan. Yang pertama bersifat sangat prosedural. Fisikawan sedang mengejar benturan partikel dengan energi semakin tinggi yang menuntut presisi pengukuran semakin besar—dan seiring presisinya naik, demikian pula halnya kerumitan diagram Feynman, yang perlu dikalkulasi untuk menghasilkan prediksi.

Keterbatasan kedua lebih bersifat fundamental. Diagram Feynman didasarkan pada asumsi bahwa semakin banyak benturan dan sub-benturan potensial yang fisikawan jelaskan, semakin akurat prediksi numeris mereka nantinya. Proses kalkulasi ini, dikenal sebagai ekspansi perturbatif, bekerja sangat baik untuk benturan elektron, di mana gaya lemah dan elektromagnetik mendominasi. Ia bekerja kurang baik untuk benturan energi tinggi, seperti benturan antar proton, di mana gaya nuklir kuat berlaku. Dalam kasus ini, menjelaskan lebih banyak benturan—dengan menggambar diagram Feynman yang semakin rinci—bisa membuat fisikawan tersesat.

“Kita tahu bahwa pada suatu titik ia mulai berdivergensi” dari fisika dunia riil, kata Francis Brown, matematikawan di Universitas Oxford. “Yang tidak diketahui adalah bagaimana memperkirakan di titik mana kita harus berhenti mengkalkulasi diagram.”

Tapi ada alasan untuk optimis. Selama satu dasawarsa terakhir, fisikawan dan matematikawan telah menggali kebersesuaian mengejutkan yang berpotensi menghembuskan nyawa baru ke dalam diagram Feynman tua dan membangkitkan wawasan luas di kedua bidang. Ini ada kaitannya dengan fakta aneh bahwa harga-harga yang terkalkulasi dari diagram Feynman terasa cocok dengan beberapa bilangan terpenting yang muncul di cabang matematika bernama geometri aljabar. Harga-harga ini disebut “periode motif”, dan tak ada alasan jelas kenapa bilangan-bilangan ini harus muncul dalam kedua setting. Bahkan, saking anehnya, seolah-olah setiap kali Anda menakar semangkok beras, Anda amati jumlah butirannya adalah bilangan prima.

“Ada sambungan dari alam ke geometri aljabar dan periode, dan jika menilik ke belakang, itu bukan kebetulan,” kata Dirk Kreimer, fisikawan di Universitas Humboldt di Berlin.

Kini matematikawan dan fisikawan sedang bekerjasama untuk menyingkap kebetulan ini. Bagi matematikawan, fisika telah meminta perhatian mereka pada sebuah kelas bilangan khusus yang ingin mereka pahami: adakah struktur tersembunyi pada periode-periode ini yang terdapat dalam fisika? Atribut khusus apa yang mungkin dimiliki kelas bilangan ini? Bagi fisikawan, upah dari pemahaman matematika jenis ini adalah derajat antisipasi baru tentang bagaimana peristiwa-peristiwa akan berlangsung di dunia quantum yang kacau.

(Lucy Reading-Ikkanda untuk Quanta Magazine)

Tema Berulang

Hari ini periode menjadi salah satu subjek matematika paling abstrak, padahal mereka bermula sebagai urusan yang lebih konkret. Di awal abad 17, para ilmuwan semisal Galileo Galilei tertarik untuk memahami bagaimana mengkalkulasi panjang waktu yang dihabiskan sebuah bandul untuk menyelesaikan satu ayunan. Mereka sadar, kalkulasi mengerucut pada penggunaan integral—sejenis jumlahan ananta—dari suatu fungsi yang memadukan informasi panjang bandul dan sudut pelepasan. Hampir bersamaan, Johannes Kepler memakai kalkulasi serupa untuk menentukan waktu yang dihabiskan sebuah planet untuk mengelilingi matahari. Mereka menyebut ukuran ini sebagai “periode”, dan mengukuhkannya sebagai salah satu ukuran terpenting yang dapat dibuat tentang gerak.

Sepanjang abad 18 dan 19, matematikawan tertarik mempelajari periode-periode secara umum—bukan saja terkait dengan bandul atau planet, tapi juga sebagai kelas bilangan yang dihasilkan oleh pengintegralan fungsi-fungsi polinomial seperti x2 + 2x – 6 dan 3x3 – 4x2 – 2x + 6. Selama lebih dari satu abad, tokoh-tokoh semisal Carl Friedrich Gauss dan Leonhard Euler menjelajahi semesta periode dan menemukan bahwa ia berisi banyak fitur yang menunjuk pada suatu tatanan dasar. Dalam beberapa hal, bidang geometri aljabar—yang mempelajari bentuk-bentuk geometris persamaan polinomial—berkembang di abad 20 sebagai sarana mengejar struktur tersembunyi itu.

Upaya ini maju pesat di tahun 1960-an. Pada saat itu matematikawan sudah melakukan apa yang sering dilakukan: menerjemahkan objek relatif konkret, contohnya persamaan, ke dalam objek lebih abstrak, yang mereka harap akan memungkinkan mereka mengidentifikasi pertalian yang mulanya tidak kentara.

Proses ini pertama-tama melibatkan peninjauan objek-objek geometris (dikenal sebagai varietas aljabar) yang didefinisikan oleh solusi untuk kelas-kelas fungsi polinomial, ketimbang peninjauan fungsi itu sendiri. Selanjutnya, matematikawan mencoba memahami atribut dasar objek geometris tersebut. Untuk itu mereka mengembangkan apa yang dikenal sebagai teori kohomologi—cara mengidentifikasi aspek struktural objek geometris. Aspek-aspek ini tetap sama tanpa peduli persamaan polinomial tertentu yang dipakai untuk menghasilkan objek.

Pada 1960-an, teori-teori kohomologi telah berkembangbiak sampai taraf membingungkan—kohomologi tunggal, kohomologi de Rham, kohomologi étale, dan sebagainya. Setiap orang seolah punya pandangan berbeda tentang fitur terpenting varietas-varietas aljabar.

Dalam suasana berantakan inilah matematikawan perintis Alexander Grothendieck, wafat tahun 2014, menyadari bahwa semua teori kohomologi adalah versi-versi berlainan dari satu hal yang sama.

“Grothendieck mengamati bahwa, dalam kasus varietas aljabar, tak peduli bagaimana Anda mengkomputasi teori-teori kohomologi berlainan ini, Anda selalu menemukan jawaban yang sama,” kata Brown.

Jawaban sama itu—hal unik di jantung semua teori kohomologi—adalah apa yang Grothendieck sebut “motif”. “Dalam musik, itu berarti tema berulang. Bagi Grothendieck, motif adalah sesuatu yang datang lagi dan lagi dalam bentuk berbeda, tapi sebetulnya sama,” kata Pierre Cartier, matematikawan di Institute of Advanced Scientific di luar Paris dan mantan kolega Grothendieck.

Motif, kurang-lebih, adalah blok dasar penyusun persamaan polinomial, seperti halnya faktor prima merupakan kepingan dasar bilangan besar. Motif juga mempunyai data sendiri yang teriring dengannya. Sebagaimana Anda dapat memecah materi ke dalam unsur-unsur dan memperinci karakteristik setiap unsur—nomor atom, berat atom, dan sebagainya—matematikawan juga mengatributkan ukuran-ukuran esensial pada sebuah motif. Ukuran terpenting adalah periode motif. Dan jika periode sebuah motif yang timbul pada suatu sistem persamaan polinomial sama dengan periode sebuah motif yang timbul pada sistem lain, berarti kedua motif ini sama.

“Sekali Anda tahu periode-periodenya, yang berupa bilangan spesifik, itu hampir sama dengan mengetahui motif itu sendiri,” kata Minhyong Kim, matematikawan di Oxford.

Cara sederhana untuk memahami bagaimana periode yang sama dapat muncul dalam konteks-konteks tak terduga adalah pi, “contoh paling masyhur dalam mendapatkan periode”, kata Cartier. Pi muncul dengan banyak samaran dalam geometri: dalam integral fungsi yang menetapkan lingkaran satu-dimensi, dalam integral fungsi yang menetapkan lingkaran dua-dimensi, dan dalam integral fungsi yang menetapkan bola. Bahwa harga sama ini terulang pada integral-integral berbeda, kemungkinan besar terasa misterius bagi para pemikir kuno. “Penjelasan modernnya adalah bola dan lingkaran zadat (solid circle) mempunyai motif yang sama dan karenanya mempunyai periode yang sama,” tulis Brown dalam surel.

Lintasan Sulit Feynman

Jika para pemikir di masa lalu ingin tahu kenapa harga-harga semisal pi muncul dalam kalkulasi lingkaran dan bola, hari ini matematikawan dan fisikawan ingin tahu kenapa harga-harga tersebut timbul dari objek geometris jenis lain: diagram Feynman.

Diagram Feynman mempunyai aspek geometris dasar, terbentuk dari segmen garis, garis, dan verteks. Untuk memahami bagaimana mereka dikonstruksi, dan kenapa mereka bermanfaat dalam fisika, bayangkan sebuah setup eksperimen sederhana di mana satu elektron dan satu positron berbenturan hingga menghasilkan satu muon dan satu antimuon. Guna mengkalkulasi probabilitas terjadinya hasil tersebut, seorang fisikawan perlu tahu massa dan momentum setiap partikel yang masuk dan juga lintasan yang ditempuh partikel. Dalam mekanika quantum, lintasan partikel dapat dibayangkan sebagai rerata semua lintasan potensial. Sehingga, penghitungan lintasan ini adalah mencari integral, dikenal sebagai integral lintasan Feynman, pada himpunan semua lintasan.

Setiap rute yang ditempuh benturan partikel dari awal sampai akhir bisa diwakili oleh diagram Feynman, dan setiap diagram mempunyai integral iringnya sendiri. (Diagram tersebut dan integralnya adalah satu dan itu-itu juga.) Untuk mengkalkulasi probabilitas hasil tertentu dari sehimpunan kondisi pemulai tertentu, Anda pertimbangkan semua diagram potensial yang dapat mendeskripsikan peristiwa, terus ambil masing-masing integralnya, dan jumlahkan mereka. Bilangan [hasilnya] merupakan amplitudo diagram. Fisikawan lantas mengkuadratkan magnitudo bilangan ini untuk memperoleh probabilitas.

Prosedur ini mudah dilaksanakan untuk satu elektron dan satu positron yang masuk dan satu muon dan satu antimuon yang keluar. Tapi itu fisika menjemukan. Eksperimen yang betul-betul disoroti fisikawan melibatkan diagram Feynman ber-loop. Loop melambangkan situasi di mana partikel memancarkan dan lalu menyerap kembali partikel-partikel tambahan. Ketika sebuah elektron berbenturan dengan sebuah positron, terdapat benturan antara (intermediate collision) dalam jumlah ananta yang dapat terjadi sebelum timbul pasangan akhir muon-antimuon. Dalam benturan-benturan antara ini, partikel-partikel baru semisal foton tercipta dan termusnahkan sebelum dapat diamati. Partikel yang masuk dan partikel yang keluar sama dengan yang dideskripsikan tadi, tapi fakta bahwa benturan tak teramati ini terjadi tetap dapat mempengaruhi hasil secara halus.

“Ini seperti Tinkertoys. Sekali Anda menggambar sebuah diagram, Anda dapat menghubungkan lebih banyak garis berdasarkan kaidah teori ini,” kata Flip Tanedo, fisikawan di Universitas California, Riverside. “Anda dapat menghubungkan lebih banyak batang, lebih banyak node, untuk membuatnya lebih kompleks.”

Dengan memperhitungkan loop, fisikawan menaikkan presisi eksperimen mereka. (Menambahkan sebuah loop sama seperti mengkalkulasi harga hingga digit lebih banyak.) Tapi setiap kali mereka menambah loop, jumlah diagram Feynman yang perlu dipertimbangkan—dan kesulitan integral-integralnya—bertambah secara dramatis. Sebagai contoh, sistem sederhana versi satu loop memerlukan satu diagram saja. Sistem versi dua loop butuh tujuh diagram. Tiga loop menuntut 72 diagram. Tambahkan jadi lima loop, maka kalkulasi mensyaratkan sekitar 12.000 integral—beban komputasi yang makan waktu bertahun-tahun untuk dipecahkan.

Alih-alih menempuh begitu banyak integral membosankan, fisikawan ingin merasakan amplitudo final hanya dengan meninjau struktur diagram Feynman tertentu—sebagaimana matematikawan dapat mengaitkan periode dengan motif.

“Prosedur ini sangat kompleks dan integral-integralnya sangat sulit, jadi apa yang ingin kami lakukan adalah mendapat pemahaman tentang jawaban akhir, integral akhir atau periode akhir, hanya dengan memelototi grafik,” kata Brown.

(Lucy Reading-Ikkanda untuk Quanta Magazine)

Hubungan Mengejutkan

Periode dan amplitudo diperkenalkan bersama untuk pertama kalinya pada tahun 1994 oleh Kreimer dan David Broadhurst, fisikawan di Open University di Inggris, disusul sebuah makalah pada 1995. Karya ini menggiring matematikawan untuk berspekulasi bahwa semua amplitudo adalah periode motif Tate campuran—motif jenis khusus yang diambil dari nama John Tate, profesor emeritus asal Universitas Harvard, di mana semua periode adalah harga majemuk salah satu konstruksi paling berpengaruh dalam teori bilangan, fungsi zeta Riemann. Dalam situasi di mana pasangan elektron-positron masuk dan pasangan muon-antimuon keluar, bagian utama amplitudo keluar sebagai enam kali fungsi zeta Riemann, yang ditaksir seharga tiga.

Seandainya semua amplitudo adalah harga zeta majemuk, itu akan menyediakan kelas bilangan yang jelas untuk dikerjakan oleh fisikawan. Tapi pada 2012, Brown dan rekannya, Oliver Schnetz, membuktikan sebaliknya. Walaupun semua amplitudo yang ditemukan fisikawan hari ini mungkin merupakan periode motif Tate campuran, “ada monster bersembunyi di luar sana yang melempar kunci pas ke dalam pekerjaan,” kata Brown. Monster-monster itu “tentu saja adalah periode, tapi mereka bukan periode bagus dan sederhana yang diharapkan.”

Fisikawan dan matematikawan tahu bahwa kelihatannya ada hubungan antara jumlah loop dalam diagram Feynman dan gagasan matematika yang disebut “berat”. Berat adalah bilangan terkait dimensi ruang yang sedang diintegralkan [pada dimensi tersebut]: integral periode pada ruang satu-dimensi bisa memiliki berat 0, 1, atau 2; integral periode pada ruang dua-dimensi bisa memiliki berat sampai 4, dan seterusnya. Berat juga dapat dipakai untuk menyortir periode-periode ke dalam jenis berlainan: semua periode berat 0 ditaksir berupa bilangan aljabar, yang dapat menjadi solusi untuk persamaan polinomial (ini belum terbukti); periode bandul selalu mempunyai berat 1; pi adalah periode berat 2; dan berat harga-harga fungsi zeta Riemann selalu dua kali lipat inputnya (jadi fungsi zeta yang ditaksir seharga 3 memiliki berat 6).

Penggolongan periode berdasar berat ini berlanjut ke diagram Feynman, di mana jumlah loop dalam diagram entah bagaimana terkait dengan berat amplitudonya. Diagram tanpa loop mempunyai berat 0; amplitudo diagram ber-loop satu adalah semua periode motif Tate campuran dan mempunyai, sebanyak-banyaknya, berat 4. Untuk grafik dengan loop tambahan, matematikawan curiga hubungan ini berlanjut, meski mereka belum bisa melihatnya.

“Kita beranjak ke loop lebih tinggi dan kita melihat periode-periode bertipe lebih umum,” kata Kreimer. “Di situ matematikawan betul-betul tertarik karena mereka tidak terlalu paham tentang motif-motif selain motif Tate campuran.”

Matematikawan dan fisikawan sedang berusaha menetapkan lingkup masalah dan membuat solusi. Matematikawan mengusulkan fungsi (dan integralnya) kepada fisikawan yang dapat dipakai untuk mendeskripsikan diagram Feynman. Fisikawan menghasilkan konfigurasi benturan partikel yang melampaui fungsi tersebut. “Luar biasa, betapa cepat mereka mengasimilasikan ide-ide matematis teknis,” kata Brown. “Kami sudah kehabisan bilangan klasik dan fungsi untuk diberikan kepada fisikawan.”

Grup Alam

Sejak pengembangan kalkulus di abad 17, bilangan-bilangan yang muncul di dunia fisika telah mengilhami kemajuan matematika. Begitulah keadaannya hari ini. Fakta bahwa periode yang datang dari fisika “adalah, kurang-lebih, pemberian Tuhan dan berasal dari teori-teori fisika menandakan bahwa mereka mempunyai banyak struktur dan itu adalah struktur yang tak usah dipikirkan atau dicari oleh matematikawan,” kata Brown.

Kreimer mengimbuhkan, “Rupanya periode yang alam hendaki adalah himpunan lebih kecil daripada periode yang mampu didefinisikan oleh matematika, tapi kita tak bisa definisikan dengan jelas apa sebetulnya subhimpunan ini.”

Brown berniat membuktikan ada sejenis grup matematis—grup Galois—yang beraksi pada himpunan periode dari diagram Feynman. “Jawabannya adalah ya dalam setiap kasus yang sudah dikomputasi,” ungkapnya, tapi bukti bahwa hubungan ini berlaku secara kategoris masihlah jauh. “Andai benar ada sebuah grup yang beraksi pada bilangan-bilangan dari fisika, berarti Anda sedang menemukan segolongan besar kesimetrian,” kata Brown. “Jika itu benar, maka langkah selanjutnya adalah bertanya kenapa ada grup kesimetrian besar ini dan apa makna fisikanya.”

Di antara hal lain, ini akan memperdalam hubungan provokatif antara konstruksi-konstruksi geometris fundamental dari dua konteks berbeda: motif (objek yang matematikawan rancang 50 tahun silam untuk memahami solusi bagi persamaan polinomial) dan diagram Feynman (wakilan skematis bagaimana benturan partikel berlangsung). Setiap diagram Feynman mempunyai motif, tapi apa persisnya yang diberitahukan oleh struktur motif perihal struktur diagram terkait? Tak ada yang tahu pasti jawabannya.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s