Oleh: Erica Klarreich
12 Maret 2015
Sumber: Quanta Magazine

Para peneliti sedang memburu hubungan misterius antara teori bilangan, aljabar, dan teori string.

(Peter Diamond untuk Quanta Magazine)

Pada 1978, matematikawan John McKay menyadari sebuah kebetulan aneh. Dia sedang mempelajari cara-cara pelambangan struktur entitas misterius yang disebut grup monster, objek aljabar raksasa yang, menurut matematikawan, menangkap kesimetrian jenis baru. Matematikawan tidak yakin grup monster ini betul-betul eksis, tapi mereka tahu bahwa jika memang eksis, ia beraksi dengan cara istimewa di dimensi-dimensi tertentu, dua yang pertama adalah 1 dan 196.883.

McKay, dari Universitas Concordia di Montreal, kebetulan mendapat sebuah makalah matematika di bidang berbeda, yang melibatkan sesuatu bernama fungsi-j, salah satu objek paling fundamental dalam teori bilangan. Anehnya, koefisien pertama dan penting dari fungsi ini adalah 196.884, yang langsung McKay kenali sebagai hasil jumlahan dua dimensi istimewa pertama si monster.

Mayoritas matematikawan menolak temuan ini dan menyebutnya kebetulan, karena tak ada alasan untuk menduga monster dan fungsi-j berkaitan sedikitpun. Namun, hubungan ini menyita perhatian John Thompson, peraih medali Fields, kini di Universitas Florida, Gainesville, yang membuat penemuan tambahan. Koefisien kedua dari fungsi-j, 21.493.760, merupakan hasil jumlahan tiga dimensi istimewa pertama si monster: 1 + 196.883 + 21.296.876. Seakan-akan fungsi-j mengendalikan struktur grup monster yang licin itu.

Segera, dua matematikawan lain menunjukkan begitu banyak relasi numeris ini, sehingga tak mungkin lagi mereka cuma kebetulan. Dalam makalah 1979 berjudul “Monstrous Moonshine”, pasangan John Conway (kini di Universitas Princeton) dan Simon Norton menaksir bahwa relasi ini dihasilkan dari suatu hubungan mendalam antara grup monster dan fungsi-j. “Mereka menjulukinya sinar bulan karena terasa khayali,” kata Don Zagier, direktur Max Planck Institute for Mathematics di Bonn, Jerman. “Saking liar ide-ide ini, membayangkan seseorang dapat membuktikan mereka rasanya seperti angan belaka.”

Miranda Cheng dari Universitas Amsterdam dan National Center for Scientific Research Prancis.
(Tanja Kernweiss)

Makan waktu beberapa tahun tambahan sebelum matematikawan berhasil mengkonstruksi grup monster, tapi mereka punya dalih bagus: monster ini memiliki lebih dari 1053 elemen, lebih banyak dari jumlah atom di seribu Bumi. Pada 1992, satu dasawarsa setelah Robert Griess dari Universitas Michigan mengkonstruksi monster, Richard Borcherds menjinakkan ide-ide liar monster sinar bulan, hingga akhirnya meraih Fields Medal atas karyanya. Borcherds, dari Universitas California, Berkeley, membuktikan terdapat jembatan antara dua alam matematika berjauhan di mana monster dan fungsi-j hidup: yaitu teori string, gagasan kontraintuitif bahwa alam semesta mempunyai dimensi-dimensi kecil tersembunyi, terlalu kecil untuk diukur, di mana string-string bervibrasi untuk menghasilkan efek fisikal yang kita alami pada skala makroskopis.

Temuan Borcherds mencetuskan revolusi dalam matematika murni, melahirkan bidang baru yang dikenal sebagai aljabar Kac-Moody rampat (generalized Kac-Moody algebra). Tapi dari sudutpandang teori string, itu seperti air bendung. Model teori string 24-dimensi yang mempertautkan fungsi-j dan monster terpisah jauh dari model-model yang paling menggairahkan para teoris string. “Itu seperti pojok esoterik teori, tanpa banyak kepentingan fisika, walaupun hasil-hasil matematikanya mengejutkan,” kata Shamit Kachru, teoris string di Universitas Stanford.

Tapi kini sinar bulan sedang mengalami renaisans, yang mungkin kelak berimplikasi besar bagi teori string. Lima tahun belakangan, dimulai dari sebuah penemuan yang sebanding dengan temuan McKay, matematikawan dan fisikawan jadi sadar bahwa monster sinar bulan baru permulaan cerita.

John Duncan dari Case Western Reserve University.
(Courtesy John Duncan)

Pekan lalu, para peneliti memposting sebuah makalah di arXiv.org berisi bukti numeris Umbral Moonshine Conjecture, dirumuskan di tahun 2012, yang mengusulkan bahwa selain monster sinar bulan, ada 23 sinar bulan lain: korespondensi misterius antara dimensi-dimensi sebuah kelompok kesimetrian di satu sisi, dan koefisien-koefisien sebuah fungsi khusus di sisi lain. Fungsi-fungsi dalam sinar-sinar bulan baru ini bersumber dari surat salah seorang jenius matematika, ditulis lebih dari setengah abad sebelum sinar bulan bahkan berkelip redup dalam benak matematikawan.

Ke-23 sinar bulan baru kelihatannya berjalin dengan beberapa struktur paling pokok dalam teori string, objek-objek empat-dimensi yang dikenal sebagai permukaan K3. Hubungan dengan umbra sinar bulan mengisyaratkan kesimetrian tersembunyi dalam permukaan-permukaan ini, kata Miranda Cheng dari Universitas Amsterdam dan National Center for Scientific Research Prancis, yang memprakarsasi Umbral Moonshine Conjecture bersama John Duncan, dari Case Western Reserve University di Cleveland, Ohio, dan Jeffrey Harvey, dari Universitas Chicago. “Ini penting, dan kami perlu memahaminya,” ujarnya.

Bukti baru ini mengindikasikan kuat bahwa pada masing-masing dari ke-23 kasus, pasti terdapat model teori string yang memegang kunci untuk memahami korespondensi numeris mengherankan ini. Tapi bukti ini belum sampai betul-betul mengkonstruksi model teori string yang relevan, sehingga menyisakan persoalan menggoda bagi fisikawan. “Pada akhirnya, ketika kita paham apa itu sinar bulan, konteksnya nanti adalah fisika,” kata Duncan.

Merotasi persegi sebanyak 90 derajat dan kemudian merefleksikannya secara horisontal memiliki efek yang sama dengan merefleksikannya secara diagonal, jadi dalam bahasa aritmetika simetri persegi, rotasi 90 derajat + refleksi horisontal = refleksi diagonal.
(Olena Shmahalo/Quanta Magazine)

Monster Sinar Bulan

Kesimetrian-kesimetrian bentuk tertentu mempunyai jenis aritmetika alami. Sebagai contoh, merotasi persegi sebanyak 90 derajat dan kemudian membaliknya secara horisontal sama dengan membaliknya secara diagonal—dengan kata lain, “rotasi 90 derajat + pembalikan horisontal = pembalikan diagonal”. Pada abad 19, matematikawan menyadari bahwa mereka dapat menyuling aritmetika jenis ini menjadi entitas aljabar yang disebut grup. Grup abstrak ini dapat melambangkan kesimetrian banyak bentuk berbeda, memberi jalan rapi kepada matematikawan untuk memahami keumuman [atribut] pada bentuk-bentuk berlainan.

Pada sebagian besar abad 20, matematikawan berusaha menggolongkan semua grup potensial, dan lambat-laun mereka menemukan sesuatu yang aneh: sementara grup-grup paling sederhana masuk ke dalam kategori alami, ada 26 grup ganjil yang tak bisa digolongkan. Di antara mereka, yang terbesar, dan terakhir ditemukan, adalah sang monster.

Sebelum penemuan tak sengaja McKay empat dasawarsa silam, tak ada alasan untuk berpikir grup monster mempunyai sangkutpaut dengan fungsi-j, protagonis kedua dalam kisah monster sinar bulan. Fungsi-j adalah anggota kelas fungsi khusus yang grafiknya mempunyai pola berulang mirip dengan teselasi cakram malaikat dan iblis karya M.C. Escher, terus mengecil seiring mendekati perbatasan luar. Fungsi-fungsi “modular” ini merupakan pahlawan teori bilangan, memainkan peran krusial, contohnya, dalam bukti Teorema Terakhir Fermat milik Andrew Wiles pada tahun 1994. “Kapanpun Anda mendengar sebuah temuan luar biasa dalam teori bilangan, kemungkinan besar sebetulnya itu pernyataan tentang bentuk-bentuk modular,” kata Kachru.

Fungsi modular memiliki pola berulang yang relevan dengan pengubinan di atas.
(Wikimedia Commons: Tom Ruen)

Sebagaimana gelombang suara, pola berulang fungsi-j dapat diurai menjadi sekumpulan nada murni, kira-kira begitu, di mana koefisien-koefisien mengindikasikan seberapa “nyaring” masing-masing nadanya. Dalam koefisien-koefisien inilah McKay menemukan tautan ke grup monster.

Di awal 1990-an, berlandaskan penelitian Igor Frenkel dari Universitas Yale, James Lepowsky dari Universitas Rutgers, dan Arne Meurman dari Universitas Lund di Swedia, Borcherds memahami temuan McKay dengan menunjukkan bahwa terdapat model teori string tertentu di mana fungsi-j dan grup monster sama-sama memainkan peran. Koefisien-koefisien fungsi-j menghitung cara osilasi string di tiap level energi. Dan grup monster menangkap kesimetrian model pada level-level energi itu.

Temuan ini menyediakan jalan bagi matematikawan untuk mempelajari grup monster sangat besar dengan memakai fungsi-j, yang koefisiennya mudah dikalkulasi. “Matematika adalah tentang membangun jembatan; di sisi yang satu Anda melihat lebih jelas daripada di sisi yang lain,” kata Duncan. “Tapi jembatan ini ternyata begitu kuat, sampai-sampai sebelum Anda melihat buktinya, ini [dianggap] gila.”

Sinar Bulan Baru

Sementara matematikawan menggali konsekuensi monster sinar bulan, teoris string fokus pada persoalan berbeda: memperhitungkan geometri untuk dimensi-dimensi kecil di mana string diduga tinggal. Geometri-geometri berlainan memungkinkan string bervibrasi dengan cara berlainan, sebagaimana pengencangan tegangan drum mengubah nada drum. Puluhan tahun fisikawan berjuang mencari geometri yang menghasilkan efek-efek fisikal di dunia nyata.

Video: David Kaplan menjelaskan bagaimana pencarian kesimetrian tersembunyi membawa kepada penemuan boson Higgs, contohnya. (Tonton semuanya dalam video-video In Theory.)
(David Kaplan, Petr Stepanek, dan Ryan Griffin untuk Quanta Magazine; musik oleh Kevin Macleod)

Satu komponen penting dalam beberapa kandidat paling menjanjikan untuk geometri tersebut adalah sekumpulan bentuk empat-dimensi yang dikenal sebagai permukaan K3. Kontras dengan model teori string milik Borcherds, kata Kachru, permukaan K3 mengisi buku-buku teks teori string.

Tidak cukup banyak yang diketahui tentang geometri permukaan K3 untuk menghitung jumlah cara osilasi string di tiap level energi, tapi fisikawan dapat menuliskan fungsi lebih terbatas yang menghitung status-status fisikal tertentu yang muncul dalam semua permukaan K3. Pada 2010, tiga teoris string—Tohru Eguchi dari Universitas Kyoto di Jepang, Hiroshi Ooguri dari California Institute of Technology di Pasadena, dan Yuji Tachikawa dari Universitas Tokyo di Jepang—memperhatikan bahwa jika mereka menulis fungsi ini dengan cara tertentu, muncul koefisien-koefisien yang sama dengan beberapa dimensi istimewa grup ganjil lain, disebut grup Mathieu 24 (M24), yang mempunyai hampir 250 juta elemen. Ketiga fisikawan telah menemukan sinar bulan baru.

Kali ini fisikawan dan matematikawan banyak dijumpai dalam penemuan ini. “Saya hadir di beberapa konferensi, dan semua ceramah membahas sinar bulan Mathieu baru ini,” kata Zagier.

Zagier menghadiri salah satu konferensi semacam itu di Zurich Juli 2011, dan di sana, tulis Duncan dalam surel, Zagier memperlihatkan kepadanya “sehelai kertas berisi banyak bilangan”—koefisien beberapa fungsi yang sedang Zagier pelajari, disebut bentuk “modular tiruan”, yang terkait dengan fungsi modular. “Don [Zagier] menunjuk sebaris bilangan tertentu dan bertanya—dalam banyolan, saya kira—apakah ada suatu grup anta (finite group) yang terkait dengan mereka,” tulis Duncan.

Jeffrey Harvey dari Universitas Chicago.
(Universitas Chicago)

Duncan tidak yakin, tapi dia mengenali bilangan-bilangan di baris lain: mereka adalah bagian dari dimensi istimewa sebuah grup bernama M12. Duncan menahan Miranda Cheng untuk bercakap-cakap, dan keduanya asyik mempelajari seisi kertas Zagier. Pasangan ini, bersama Jeffrey Harvey, lambat-laun menyadari bahwa sinar bulan baru tersebut mengandung lebih dari sekadar contoh M24. Mereka mendapati bahwa petunjuk menuju gambaran utuh sinar bulan terletak dalam tulisan-tulisan berumur hampir seabad karya para legenda matematika.

Bayangan Sinar Bulan

Pada 1913, matematikawan Inggris G.H. Hardy menerima surat dari pegawai akuntansi di Madras, India, yang mengutarakan beberapa rumus matematika temuannya. Banyak dari mereka ketinggalan zaman, dan sebagian lagi salah sama sekali, tapi di halaman terakhir ada tiga rumus yang membuat Hardy tercengang. “Mereka harus benar,” tulis Hardy, yang langsung mengundang si pegawai, Srinivasa Ramanujan, ke Inggris, “karena, jika mereka tidak benar, tak ada yang punya imajinasi untuk menemukannya.”

Surat terakhir Srinivasa Ramanujan kepada G.H. Hardy di tahun 1920, menjelaskan penemuan sesuatu yang disebutnya fungsi “teta tiruan”.
(Courtesy Ken Ono)

Ramanujan menjadi tenar karena mengeluarkan relasi-relasi matematis entah dari mana, dan dia mengkreditkan banyak temuannya pada dewi Namagiri, yang menampakkan diri dalam penglihatannya, tuturnya. Yang tragis, karir matematikanya berlangsung singkat, dan pada 1920, sambil terbaring sekarat di India pada usia 32, dia menulis satu surat lain kepada Hardy. Di situ dia bercerita bahwa dirinya menemukan apa yang disebut fungsi “teta tiruan”, yang memasuki matematika “secara indah”. Ramanujan membuat daftar 17 contoh fungsi-fungsi ini, tapi tidak menjelaskan apa kesamaan mereka. Persoalan ini tetap terbuka selama lebih dari delapan dasawarsa, sampai Sander Zwegers, kala itu mahasiswa pascasarjana Zagier dan kini profesor di Universitas Cologne di Jerman, mempertimbangkan di tahun 2002 bahwa mereka semua adalah contoh dari apa yang kelak dikenal sebagai bentuk modular tiruan.

Pasca konferensi sinar bulan di Zurich itu, Cheng, Duncan, dan Harvey perlahan-lahan mempertimbangkan bahwa sinar bulan M24 adalah salah satu dari 23 sinar bulan berlainan, masing-masing membangun hubungan antara dimensi istimewa grup dan koefisien bentuk modular tiruan—sebagaimana monster sinar bulan membangun hubungan antara grup monster dan fungsi-j. Untuk masing-masing sinar bulan ini, taksir para peneliti, terdapat satu teori string, seperti teori string dalam monster sinar bulan, di mana bentuk modular tiruan menghitung status string dan grup menangkap kesimetrian model. Bentuk modular tiruan selalu mempunyai fungsi modular teriring yang disebut “bayangan”, sehingga mereka menamai hipotesis mereka “Umbral Moonshine Conjecture”—umbra adalah kata Latin untuk “bayangan”. Banyak dari bentuk-bentuk modular tiruan dalam penaksiran ini tercakup dalam 17 contoh istimewa yang Ramanujan daftarkan dalam surat nubuatnya.

Herannya, bukti monster sinar bulan terdahulu milik Borcherds juga berlandaskan karya Ramanujan: objek-objek aljabar di jantung bukti tersebut ditemukan oleh Frenkel, Lepowsky, dan Meurman sewaktu menganalisa tiga rumus dalam surat pertama Ramanujan yang dulu mengagetkan Hardy. “Luar biasa, dua surat ini membentuk dasar pengetahuan kita tentang sinar bulan,” kata Ken Ono, dari Universitas Emory di Atlanta, Georgia. “Tanpa kedua surat tersebut, kita tak bisa menulis cerita ini.”

Menemukan Hewan Buas

Dalam makalah baru yang diposting di arXiv.org, Duncan, Ono, dan Michael Griffin (mahasiswa pascasarjana Ono) mengemukakan bukti numeris Umbral Moonshine Conjecture (yang salah satu kasusnya—kasus M24—sudah dibuktikan oleh Terry Gannon, dari Universitas Alberta di Edmonton, Kanada). Analisa baru ini cuma memberi isyarat di mana seharusnya fisikawan mencari teori string yang akan menyatukan grup dan bentuk modular tiruan. Meski begitu, bukti ini mengkonfirmasi bahwa penaksiran tersebut ada di jalur yang benar, kata Harvey. “Kita punya struktur ini, dan ia begitu rinci dan meyakinkan sehingga sulit untuk berpikir tidak ada kebenaran padanya,” katanya. “Mempunyai bukti matematis menjadikannya karya kokoh yang bisa dipertimbangkan serius oleh orang-orang.”

Teori string yang mendasari umbra sinar bulan kemungkinan besar “bukan sekadar teori fisika sembarangan, tapi teori fisika penting,” kata Cheng. “Itu mengisyaratkan ada kesimetrian khusus yang beraksi pada teori fisika permukaan K3.” Peneliti yang mempelajari permukaan K3 belum bisa melihat kesimetrian ini, katanya, menyebut “barangkali ada cara lebih baik yang belum kita temukan dalam memandang teori tersebut.”

Ken Ono dari Universitas Emory.
(Universitas Emory)

Fisikawan juga bergairah dengan hubungan spekulatif antara sinar bulan dan gravitasi quantum, teori yang masih harus ditemukan yang akan menyatukan relativitas umum dan mekanika quantum. Pada 2007, fisikawan Edward Witten, dari Institute for Advanced Study di Princeton, New Jersey, berspekulasi bahwa teori string dalam monster sinar bulan seharusnya menawarkan jalan untuk mengkonstruksi model gravitasi quantum tiga-dimensi, di mana 194 kategori elemen alami dalam grup monster dapat disamakan dengan 194 kelas black hole. Umbra sinar bulan mungkin dapat menuntun fisikawan ke penaksiran serupa, memberi petunjuk di mana mereka harus mencari teori gravitasi quantum. “Itu harapan besar untuk bidang ini,” kata Duncan.

Bukti numeris Umbral Moonshine Conjecture yang baru adalah “seperti mencari hewan di Mars dan melihat jejak kakinya, sehingga kita tahu ia ada di sana,” kata Zagier. Sekarang peneliti harus menemukan si hewan—teori string yang menerangkan semua hubungan mendalam ini. “Kita betul-betul ingin memegangnya,” kata Zagier.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s