Oleh: Natalie Wolchover
5 Februari 2013
Sumber: Quanta Magazine

Semua sistem terkorelasi kompleks, mulai dari kolam leleh Arktik hingga internet, rupanya diatur oleh matematika yang sama dengan matriks acak.

Di Cuernavaca, Meksiko, jaringan “mata-mata” membuat sistem bus terdesentralisasi jadi lebih efisien. Konsekuensinya, waktu keberangkatan bus mempertontonkan sebuah pola yang ada di mana-mana yang dikenal sebagai “universalitas”.
(Marco de Leija)

Pada 1999, saat duduk di sebuah halte bus di Cuernavaca, Meksiko, seorang fisikawan Ceko bernama Petr Šeba melihat anak-anak muda menyerahkan carikan kertas kepada para sopir bus dengan imbalan uang tunai. Itu bukan kejahatan terorganisir, setahu dia kemudian, melainkan salah satu profesi bayangan: setiap sopir membayar seorang “mata-mata” untuk mencatat kapan bus di depannya meninggalkan halte. Jika bus itu berangkat baru-baru ini, dia akan memperlambat kendaraan, agar penumpang bertumpuk di halte berikutnya. Jika bus itu berangkat sudah lama, dia akan mempercepat kendaraan agar bus-bus lain tidak menyusulnya. Sistem ini memaksimalkan laba para sopir. Dan ini memberi Šeba ide.

“Kami merasa ada suatu kemiripan dengan sistem balau quantum,” jelas rekan pengarang Šeba, Milan Krbálek, dalam surel.

Setelah beberapa kali gagal bicara langsung dengan para mata-mata, Šeba meminta mahasiswanya menjelaskan kepada mereka bahwa dia bukan penagih pajak, atau penjahat—dia cuma ilmuwan “sinting” yang sudi menukar tequila dengan data mereka. Orang-orang itu menyerahkan kertas-kertas bekas pakai. Ketika para peneliti memplot ribuan waktu keberangkatan bus pada komputer, kecurigaan mereka terkonfirmasi: interaksi antar sopir membuat jarak antar keberangkatan mempertontonkan pola khas yang teramati dalam eksperimen fisika quantum.

“Saya sudah menduga [hasil] ini akan keluar, tapi saya betul-betul kaget ternyata sama persis,” tutur Šeba.
Partikel-partikel subatom tidak ada kaitannya dengan sistem bus terdesentralisasi. Tapi sejak ditemukannya kebergandengan ganjil, pola yang sama muncul dalam setting tak terkait lain. Kini ilmuwan percaya fenomena tersebar luas ini, dikenal sebagai “universalitas”, berakar dari hubungan fundamental dengan matematika, dan ini membantu mereka memodelkan sistem-sistem kompleks, mulai dari internet hingga iklim Bumi.

Pola merah mempertontonkan keseimbangan presisi antara keacakan dan keteraturan yang dikenal sebagai “universalitas”, yang telah teramati dalam spektrum banyak sistem terkorelasi kompleks. Dalam spektrum ini, rumus matematika bernama “fungsi korelasi” memberikan probabilitas penemuan dua garis berjarak tertentu secara tepat.
(Ilustrasi oleh Simons Science News)

Pola ini pertama kali dijumpai di alam pada 1950-an dalam spektrum energi nukleus uranium, raksasa (berisi ratusan komponen bergerak) yang menggigil dan meregang dalam banyak cara, menghasilkan sederet level energi tak berujung. Pada 1972, teoris bilangan Hugh Montgomery melihatnya dalam nol-nol fungsi zeta Riemann, objek matematika yang terkait erat dengan sebaran bilangan prima. Pada 2000, Krbálek dan Šeba melaporkannya dalam sistem bus Cuernavaca. Dan di tahun-tahun belakangan ia muncul dalam ukuran spektrum material komposit, misalnya es laut dan tulang manusia, dan dalam dinamika sinyal model Erdös–Rényi, internet versi sederhana yang diambil dari nama Paul Erdös dan Alfréd Rényi.

Masing-masing sistem ini memiliki spektrum—deret mirip barcode yang mewakili data semisal level energi, nol zeta, waktu keberangkatan bus, atau kecepatan sinyal. Dalam semua spektrum tersebut muncul pola khas yang sama: data tersebar secara serampangan, tapi garis-garis bertetangga saling menolak, memberi derajat keteraturan pada jarak mereka. Keseimbangan halus antara kebalauan dan ketatanan ini, yang ditetapkan oleh rumus presisi, juga tampak dalam setting matematis murni: itu menetapkan jarak antar eigenharga (atau solusi) sebuah matriks besar yang dipenuhi bilangan acak.

“Kenapa banyak sekali sistem fisikal berperilaku seperti matriks acak, ini masih misteri,” kata Horng-Tzer Yau, matematikawan di Universitas Harvard. “Tapi dalam tiga tahun terakhir kita sudah membuat langkah amat penting dalam pemahaman kita.”

Dengan menyelidiki fenomena “universalitas” pada matriks-matriks acak, para peneliti mulai lebih mengerti kenapa ia timbul di tempat lain—dan bagaimana ia bisa dimanfaatkan. Dalam badai makalah belakangan ini, Yau dan matematikawan lain sudah menggolongkan banyak matriks acak tipe baru, yang dapat mematuhi berbagai kaidah sebaran numeris dan kesimetrian. Sebagai contoh, bilangan yang mengisi baris dan kolom matriks bisa dipilih dari kurva lonceng harga-harga potensial, atau bisa 1 dan -1 saja. Paruh kanan atas dan paruh kiri bawah matriks bisa citra cerminan satu sama lain, atau bukan. Berkali-kali, tanpa peduli ciri khas mereka, matriks-matriks acak didapati mempertontonkan pola balau tapi teratur yang sama dalam sebaran eigenharga mereka. Itu sebabnya matematikawan menyebut fenomena ini “universalitas”.

“Kelihatannya ini hukum alam,” kata Van Vu, matematikawan di Universitas Yale yang, bersama Terence Tao dari Universitas California, Los Angeles, telah membuktikan universalitas pada banyak golongan matriks acak.

Universalitas diduga timbul ketika sebuah sistem terlalu kompleks, terdiri dari banyak komponen yang berinteraksi kuat dengan satu sama lain hingga membangkitkan spektrum. Pola muncul pada spektrum suatu matriks acak, sebagai contoh, karena semua elemen matriks masuk ke dalam kalkulasi spektrum tersebut. Tapi matriks acak hanyalah “sistem mainan” yang menarik perhatian lantaran dapat dipelajari secara ketat, selain juga cukup kaya untuk memodelkan sistem-sistem dunia riil, kata Vu. Universalitas jauh lebih tersebar luas. Hipotesis Wigner (dari nama Eugene Wigner, fisikawan yang menemukan universalitas dalam spektrum atom) menyatakan bahwa semua sistem terkorelasi kompleks mempertontonkan universalitas, mulai dari kekisi kristal hingga internet.

Semakin kompleks sistemnya, semakin alot universalitasnya, kata László Erdös dari Universitas Munich, salah seorang kolaborator Yau. “Ini karena kita percaya universalitas adalah perilaku tipikal.”

Dalam banyak sistem sederhana, komponen-komponen individual dapat memaksakan pengaruh terlalu besar terhadap hasil sistem, mengubah pola spektrum. Pada sistem lebih besar, tak ada komponen yang mendominasi. “Seperti ketika ada kamar berisi banyak orang dan mereka memutuskan untuk berbuat sesuatu. Kepribadian satu orang tidak begitu penting,” kata Vu.

Matematikawan memakai model-model matriks acak untuk mempelajari dan memprediksi beberapa atribut internet, misalnya ukuran gugus komputer tipikal.
(Ilustrasi oleh Matt Britt)

Kapanpun suatu sistem mempertontonkan universalitas, perilaku tersebut berfungsi sebagai tanda yang menerangkan bahwa sistemnya kompleks dan cukup terkorelasi untuk diperlakukan seperti matriks acak. “Ini berarti Anda dapat memakai matriks acak untuk memodelkannya,” kata Vu. “Anda dapat mengkomputasi parameter-parameter lain dari model matriks tersebut dan menggunakan mereka untuk memprediksi sistem ini bakal berperilaku seperti parameter yang Anda komputasi.”

Teknik ini memungkinkan ilmuwan memahami struktur dan evolusi internet. Beberapa atribut jaringan komputer raksasa ini, contohnya ukuran tipikal sebuah gugus komputer, dapat ditaksir secara ketat berdasarkan atribut-atribut matriks acak ekuivalen yang dapat diukur. “Orang-orang sangat tertarik pada gugus dan lokasinya, sebagian termotivasi oleh tujuan praktis semisal periklanan,” kata Vu.

Teknik serupa mungkin dapat memperbaiki model-model perubahan iklim. Ilmuwan sudah menemukan bahwa kehadiran universalitas pada fitur-fitur sebuah material, mirip dengan spektrum energinya, mengindikasikan komponen-komponennya sangat bersambung, dan karenanya ia akan menghantarkan zalir, listrik, atau panas. Sebaliknya, ketiadaan universalitas mungkin menunjukkan suatu material bersifat carang dan bertindak sebagai isolator. Dalam penelitian baru yang dipresentasikan Januari kemarin di Joint Mathematics Meetings di San Diego, California, Ken Golden, matematikawan di Universitas Utah, dan mahasiswanya, Ben Murphy, memanfaatkan perbedaan ini untuk memprediksi perpindahan panas dan aliran zalir pada es laut, baik di tingkat mikroskopis maupun di petak-petak kolam leleh Arktik yang menghampar ribuan kilometer.

Ukuran spektrum mosaik kolam leleh, yang dijepret dari helikopter, atau ukuran serupa dari sampel es laut di dalam inti es, serta-merta menyingkap status kedua sistem. “Aliran zalir di es laut menentukan atau memperantarai proses-proses penting yang perlu Anda pahami dalam rangka memahami sistem iklim,” kata Golden. “Transisi pada statistik eigenharga menghadirkan pendekatan matematis ketat baru dalam memasukkan es laut ke dalam model iklim.”

Trik ini mungkin pula nantinya menyediakan tes osteoporosis yang mudah. Golden, Murphy, dan kolega mereka menemukan bahwa spektrum tulang padat sehat mempertontonkan universalitas, sedangkan tulang keropos osteoporotik tidak.

Ketika kolam leleh Arktik cukup bersambung, sebagaimana digambarkan di atas, mereka mempertontonkan atribut bernama universalitas yang, menurut peneliti, lazim dijumpai pada semua sistem terkorelasi kompleks.
(Don Perovich)

“Kita sedang berurusan dengan sistem-sistem di mana ‘partikel’ bisa berada pada skala milimeter atau bahkan kilometer,” kata Murphy, merujuk pada komponen sistem. “Bukan main, matematika dasar yang sama mendeskripsikan dua-duanya.”

Alasan kenapa sistem dunia riil mempertontonkan perilaku spektrum yang sama dengan matriks acak mungkin paling mudah dipahami dalam kasus nukleus atom berat. Semua sistem quantum, termasuk atom, diatur oleh kaidah matematika, dan khususnya oleh kaidah matriks. “Itulah inti dari mekanika quantum,” kata Freeman Dyson, pensiunan fisikawan matematis yang membantu mengembangkan teori matriks acak pada 1960-an dan 1970-an saat bekerja di Institute for Advanced Study, Princeton. “Setiap sistem quantum diatur oleh matriks yang mewakili energi total sistem, dan eigenharga matriks adalah level energi sistem quantum.”

Matriks di balik atom-atom sederhana, semisal hidrogen atau helium, dapat dihitung secara tepat, menghasilkan eigenharga yang ekuivalen dengan level energi atom-atom tersebut dalam presisi luar biasa. Tapi matriks yang ekuivalen dengan sistem quantum kompleks, seperti nukleus uranium, terlalu sulit untuk dipahami. Menurut Dyson, inilah kenapa nukleus demikian dapat dibandingkan dengan matriks acak. Banyak dari interaksi di dalam uranium—elemen-elemen matriks asingnya—begitu kompleks sampai-sampai mereka terhanyut, seperti campuran bunyi yang berpadu menjadi kegaduhan. Akibatnya, matriks asing yang mengatur nukleus tersebut berperilaku seperti matriks berisi bilangan acak, sehingga spektrumnya mempertontonkan universalitas.

Kolam-kolam leleh Arktik terputus ini tidak membentuk sistem yang cukup terkorelasi untuk mempertontonkan universalitas. Justru, spektrum energi sistem ini acak.
(Don Perovich)

Ilmuwan masih harus mengembangkan pemahaman intuitif kenapa pola acak tapi teratur ini, dan bukan pola lain, muncul pada sistem-sistem kompleks. “Kita cuma tahu dari kalkulasi,” kata Vu. Misteri lain adalah apa kaitannya dengan fungsi zeta Riemann, yang spektrum nolnya mempertontonkan universalitas. Nol-nol fungsi zeta terikat erat dengan sebaran bilangan prima—bilangan bulat yang tak dapat diperkecil lagi, yang darinya semua bilangan lain dibangun. Matematikawan sudah lama heran oleh serampangnya bilangan prima di deret bilangan dari satu sampai ananta, dan universalitas menawarkan petunjuk. Sebagian menduga mungkin ada suatu matriks di balik fungsi zeta Riemann yang cukup kompleks dan terkorelasi untuk mempertontonkan universalitas. Penemuan matriks demikian akan “berimplikasi besar” pada pemahaman sebaran bilangan prima, kata Paul Bourgade, matematikawan di Harvard.

Atau boleh jadi penjelasannya terletak lebih dalam lagi. “Mungkin saja bukan matriks yang menjadi inti universalitas Wigner maupun fungsi zeta, tapi suatu struktur matematis lain, namun belum ditemukan,” kata Erdös. “Berarti matriks Wigner dan fungsi zeta hanyalah wakilan struktur ini, dua wakilan berbeda.”

Banyak matematikawan sedang mencari jawaban, tanpa jaminan ada jawaban. “Tak seorangpun mengira bus-bus di Cuernavaca akan menjadi contoh ini. Tak seorangpun mengira nol-nol fungsi zeta akan menjadi contoh lain,” kata Dyson. “Keindahan sains adalah ia tak dapat diprediksi, jadi semua yang bermanfaat timbul dari kejutan.”

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s